問題:兩條平行線可以相交於一點
例如,笛卡爾座標系下(1,2)的齊次座標可以表示為(1,2,1),如果點(1,2)移動到無限遠處,在笛卡爾座標下它變為(∞,∞),然後它的齊次座標表示為(1,2,0),因為(1/0, 2/0) = (∞,∞),我們可以不用」∞"來表示乙個無窮遠處的點了,哈哈。
證明:兩條直線可以相交
考慮如下方程組:
我們知道在笛卡爾座標系裡面,該方程組無解,因為c ≠ d,如果c=d,兩條直線就相同了。
讓我們在透視空間裡面,用齊次座標x/w, y/w代替x ,y,
現在我們有乙個解(x, y, 0),兩條直線相交於(x, y, 0),這個點在無窮遠處。
一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底,只見大部分的書中說道「齊次座標在仿射變換中非常的方便」,然後就沒有了後文,今天在乙個叫做「三百年 重生」的部落格上看到一篇關於透視投影變換的**的文章,其中有對齊次座標有非常精闢的說明,特別是針對這樣一句話進行了有力的證明:「齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一,它既能夠用來明確區分向量和點,同時也更易用於進行仿射(線性)幾何變換。」—— f.s. hill, jr。
由於作者對齊次座標真的解釋的不錯,我就原封不動的摘抄過來:
對於乙個向量v以及基oabc,可以找到一組座標(v1,v2,v3),使得
v= v1a+ v2b +v3c(1)
而對於乙個點p,則可以找到一組座標(p1,p2,p3),使得
p–o= p1a +p2b+ p3c(2),
從上面對向量和點的表達,我們可以看出為了在座標系中表示乙個點(如p),我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的乙個位移,即乙個向量——p – o(有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量),我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p:p=o+ p1a +p2b+ p3c (3)
(1)(3)是座標系下表達乙個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出,雖然都是用代數分量的形式表達向量和點,但表達乙個點比乙個向量需要額外的資訊。如果我寫出乙個代數分量表達(1, 4, 7),誰知道它是個向量還是個點!
我們現在把(1)(3)寫成矩陣的形式:v = (v1 v2 v3 0) x (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) x (a b c o),
這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣,右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。這樣,向量和點在同乙個基下就有了不同的表達:3d向量的第4個代數分量是0,而3d點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3d幾何概念的方式是一種齊次座標表示。
這樣,上面的(1, 4, 7)如果寫成(1,4,7,0),它就是個向量;如果是(1,4,7,1),它就是個點。
下面是如何在普通座標(ordinary coordinate)和齊次座標(homogeneous coordinate)之間進行轉換:
(1)從普通座標轉換成齊次座標時
如果(x,y,z)是個點,則變為(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是個向量,則變為(x,y,z,0)
(2)從齊次座標轉換成普通座標時
如果是(x,y,z,1),則知道它是個點,變成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0),則知道它是個向量,仍然變成(x,y,z)
以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知,對於平移t、旋轉r、縮放s這3個最常見的仿射變換,平移變換只對於點才有意義,因為普通向量沒有位置概念,只有大小和方向.
而旋轉和縮放對於向量和點都有意義,你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出,齊次座標用於仿射變換非常方便。
此外,對於乙個普通座標的
點p=(px, py, pz),有對應的一族齊次座標(wpx, wpy, wpz, w),其中w不等於零。比如,p(1, 4, 7)的齊次座標有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把乙個點從普通座標變成齊次座標,給x,y,z乘上同乙個非零數w,然後增加第4個分量w;如果把乙個齊次座標轉換成普通座標,把前三個座標同時除以第4個座標,然後去掉第4個分量。
由於齊次座標使用了4個分量來表達3d概念,使得平移變換可以使用矩陣進行,從而如f.s. hill, jr所說,仿射(線性)變換的進行更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法,因此更加促進了齊次座標使用,使得它似乎成為圖形學中的乙個標準。
以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中,很多已經被封裝的好的api也是很有研究的,要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者,除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源,從而解決問題。
**:
關於齊次座標的理解
問題 兩條平行線可以相交於一點 在歐氏幾何空間,同一平面的兩條平行線不能相交,這是我們都熟悉的一種場景。然而,在透視空間裡面,兩條平行線可以相交,例如 火車軌道隨著我們的視線越來越窄,最後兩條平行線在無窮遠處交於一點。歐氏空間 或者笛卡爾空間 描述2d 3d幾何非常適合,但是這種方法卻不適合處理透視...
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