1、概念型演算法
f 的閉包:
在關係模式
r，f>中為f
所邏輯蘊含的函式依賴的全體叫作
f的閉包，記為f+
。屬性集
x 關於函式依賴集
f 的閉包:
設f 為屬性集
u 上的一組函式依賴，
x í u ，
xf+ =
，xf+ 稱為屬性集
x 關於函式依賴集
f 的閉包.
演算法求屬性集
x（ x
í u ）關於 u
上的函式依賴集 f
的閉包 xf+
輸入： x
， f
輸出： xf
+步驟：
（ 1 ）令 x
（ 0 ） =x ， i
=0（ 2 ）求 b
，這裡 b
= ；
（ 3 ） x
（ i+1 ） =b ∪ x
（ i ）
（ 4 ）判斷 x
（ i+1 ） = x （ i ）嗎 ?
（ 5 ）若相等或 x
（ i ） =u , 則 x
（ i ）就是 xf
+ , 演算法終止。
（ 6 ）若否，則 i
=i +l ，返回第（ 2 ）步。
2、通俗演算法
以下是寫的比較科學規範的閉包求解方法，設x和y均為關係r的屬性集的子集，f是r上的函式依賴集，若對r的任一屬性集b，一旦x→b，必有b⊆y，且對r的任一滿足以上條件的屬性集y1 ，必有y⊆y1，此時稱y為屬性集x在函式依賴集f下的閉包，記作x＋。
計算關係r的屬性集x的閉包的步驟如下：
第一步：設最終將成為閉包的屬性集是y，把y初始化為x；
第二步：檢查f中的每乙個函式依賴a→b，如果屬性集a中所有屬性均在y中，而b中有的屬性不在y中，則將其加入到y中；
第三步：重複第二步，直到沒有屬性可以新增到屬性集y中為止。 最後得到的y就是x＋
例（1）： 設有關係模式r(u，f)，其中u=，f=，計算(ae)+
解: (1) 令x=，x(0)=ae
(2)在f中尋找尚未使用過的左邊是ae的子集的函式依賴，結果是: a→d， e→c；所以 x(1)=x(0)dc=acde， 顯然 x(1)≠x(0).
(3) 在f中尋找尚未使用過的左邊是acde的子集的函式依賴， 結果是: cd→i；所以 x(2)=x(1)i=acdei。雖然x（2）≠x(1)，但f中尋找尚未使用過函式依賴的左邊已經沒有x（2）的子集，所以不必再計算下去，即(ae)+=acdei。
說白話一點：閉包就是由乙個屬性直接或間接推導出的所有屬性的集合。
例如：f=；由a可直接得到b和d，間接得到c，則a的閉包就是
難點：1、畫函式依賴圖不能畫錯；
2、沒有入度為0的屬性或入度為0不能遍歷全圖時較難。
3、如何定義「能正常遍歷圖中所有節點」？當存在多個屬性共同決定某屬性時，存在歧義易錯。例架構師考試2009題26
需要注意問題：
1、圖中第二條：「若能正常遍歷圖中所有節點」指的是該屬性集合加起來能遍歷全圖。舉例：設u=，假設零入度的有c和d，c為起點能遍歷b、a、e。d為起點能遍歷a、e。c和d加起來能遍歷所有，故cd集合為候選碼。
結論：是一種快速演算法，但由於難點3，不屬於一種比較嚴謹的演算法。可作為一種參考，若題目較複雜，不建議採用。
以下兩個演算法都是基於閉包演算法的，思路略有差異，演算法基本相同。
演算法1：理論
首先對於給定的r(u)和函式依賴集f,可以將它的屬性劃分為4類:
l類,僅出現在f的函式依賴左部的屬性。
r類,僅出現在f的函式依賴右部的屬性。
n類,在f的函式依賴左部和右部均未出現的屬性。
lr類,在f的函式依賴左部和右部兩部均出現的屬性。
根據以下定理和推論來求解候選碼。
定理1:對於給定的關係模式r及其函式依賴集f,若x(x∈r)是l類屬性,則x必為r的任一候選碼的成員。
推論1:對於給定的關係模式r及其函式依賴集f,若x(x∈r)是l類屬性,且x+包含了r的全部屬性,則x必為r的唯一候選碼。
定理2:對於給定的關係模式r及其函式依賴集f,若x(x∈r)是r類屬性,則x不在任何候選碼中。
定理3:設有關係模式r及其函式依賴集f,如果x是r的n類屬性,則x必包含在r的任一候選碼中。
推論2:對於給定的關係模式r及其函式依賴集f,如果x是r的n類和l類組成的屬性集,且x+包含了r的有屬性,則x是r的唯一候選碼。
例：如設有關係模式r(u),其函式依賴集為f,其中:
u=, f=
求r的候選碼。
解:根據函式依賴可得:
屬性b、d為l類,e為n類,因此屬性b、d、e必為候選碼的成員,且此三個屬性的閉包:b+=abc,(bd)+=abcd,(bde)+=abcde,根據推論2可得bde是r的唯一候選碼。所以r的候選碼為bde。 如果把例題中關係模式r(u)中的屬性e去掉,那麼再求r的候選碼的話可以根據推論1得出bd為r的唯一候選碼。
快速求解方法適用於判斷有屬性是屬於l類、n類或其中一種的情況下求解。如果有l類和n類的屬性,則求解候選碼速度非常快。
簡而言之：l、r、n、lr類。根據定理，l、n類必為侯選碼之一，如果l+包含全部r，則l為唯一侯選。r類不在任何侯選碼中。l+n類且（l+n）+包含所有r，則l+n為唯一侯選。（適於有l、n類至少一種的情況。）
演算法2：較通俗
在學習資料庫的時候，經常要碰到候選鍵的求取，但是一開始的時候，根本搞不清楚怎麼去求，最近看了一些文章和資料，終於搞明白了。
首先來看候選鍵的定義：若關係中的某一屬性組的值能唯一地標識乙個元組，則稱該屬性組為候選鍵。
若w是候選鍵，則必須滿足兩個條件：w的閉包是u；w沒有冗餘。
設關係模式r中u=abc.......等n個屬性，u中的屬性在fd中有四種範圍：
(1)左右出現;
(2)只在左部出現;
(3)只在右部出現;
(4)不在左右出現;
演算法：按以下步驟求候選鍵：
1.只在fd右部出現的屬性，不屬於候選碼;
2.只在fd左部出現的屬性，一定存在於某候選碼當中;
3.外部屬性一定存在於任何候選碼當中;
4.其他屬性逐個與2,3的屬性組合，求屬性閉包，直至x的閉包等於u,若等於u,則x為候選碼。
例1：r,u=(a,b,c,d,e,g),f=,求候選碼。
因g只在右邊出現,所以g一定不屬於候選碼;而b,d只在左邊出現,所以b,d一定屬於候選碼;bd的閉包還是bd,則對bd進行組合,除了g以外,bd可以跟a,c,e進行組合
先看abd
abd本身自包abd,而ab-->c,cd-->e,a-->g,所以abd的閉包為abdceg=u
再看bdc
cd-->e,e-->a,a-->g,bdc本身自包,所以bdc的閉包為bdceag=u
最後看bde
e-->a,a-->g,ab-->c,bde本身自包,所以bde的閉包為bdeagc=u
因為(abd)、(bcd)、(bde)的閉包都是abcdeg所以本問題的候選碼有3個分別是abc、bcd和bde
例2：r,u=(a,b,c),f=,求候選碼。
因為a只出現在左邊，所以a一定是候選鍵。a的閉包還是a，則對a進行組合，可以和b,c進行組合。
首先看ab，ab本身自包ab，而ab-->c，所以ab的閉包是abc=u。
再看ac，ac本身自包ac，而c-->b，所以ac的閉包是abc=u。
因為ab,ac的閉包都是abc，也就是u，所以候選鍵是ab，ac。
結論：演算法一可作參考，不宜採用。演算法二.2推薦採用。考試時由於題目只會出現在選擇題，可以結合排出法、倒推（算閉包法）得出答案。
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