通過這段描述可以看出來，最小二乘法也是一種優化方法，求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合，來解決回歸問題。難怪《統計學習方法》中提到，回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，回歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。
二. 最小二乘法
我們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢？ 監督學習中，如果**的變數是離散的，我們稱其為分類（如決策樹，支援向量機等），如果**的變數是連續的，我們稱其為回歸。回歸分析中，如果只包括乙個自變數和乙個因變數，且二者的關係可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變數，且因變數和自變數之間是線性關係，則稱為多元線性回歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是乙個平面，對於多維空間線性是乙個超平面...
對於一元線性回歸模型, 假設從總體中獲取了n組觀察值（x1，y1），（x2，y2）， …，（xn，yn）。對於平面中的這n個點，可以使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函式盡可能好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本資料的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準可以確定為：使總的擬合誤差（即總殘差）達到最小。有以下三個標準可以選擇：
（1）用「殘差和最小」確定直線位置是乙個途徑。但很快發現計算「殘差和」存在相互抵消的問題。
（2）用「殘差絕對值和最小」確定直線位置也是乙個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。
（3）最小二乘法的原則是以「殘差平方和最小」確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優良特性。這種方法對異常值非常敏感。
最常用的是普通最小二乘法（ ordinary least square，ols）：所選擇的回歸模型應該使所有觀察值的殘差平方和達到最小。（q為殘差平方和）- 即採用平方損失函式。
樣本回歸模型：
平方損失函式：
則通過q最小確定這條直線，即確定
根據數學知識我們知道，函式的極值點為偏導為0的點。
解得：
這就是最小二乘法的解法，就是求得平方損失函式的極值點。
三. c++實現**
1/*2四. 最小二乘法與梯度下降法最小二乘法c++實現
3引數1為輸入檔案
4輸入 ： x
5輸出： **的y 6*/
7 #include8 #include9 #include10
using
namespace
std;
1112
class
leastsquare
25 a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2); //
求得β1
26 b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2); //
求得β227}
2829
double gety(const
double x) const
3033
34void print() const
3538
39};
4041
int main(int argc, char *argv)
4248
else
4967
}68 }
最小二乘法跟梯度下降法都是通過求導來求損失函式的最小值，那它們有什麼區別呢。
相同1.本質相同：兩種方法都是在給定已知資料（independent & dependent variables）的前提下對dependent variables算出出乙個一般性的估值函式。然後對給定新資料的dependent variables進行估算。
2.目標相同：都是在已知資料的框架內，使得估算值與實際值的總平方差盡量更小（事實上未必一定要使用平方），估算值與實際值的總平方差的公式為：
其中不同1.實現方法和結果不同：最小二乘法是直接對
最小二乘法的侷限性和適用場景
從上面可以看出，最小二乘法適用簡潔高效，比梯度下降這樣的迭代法似乎方便很多。但是這裡我們就聊聊最小二乘法的侷限性。
首先，最小二乘法需要計算xtx
xtx的逆矩陣，有可能它的逆矩陣不存在，這樣就沒有辦法直接用最小二乘法了，此時梯度下降法仍然可以使用。當然，我們可以通過對樣本資料進行整理，去掉冗餘特徵。讓xtx
xtx的行列式不為0，然後繼續使用最小二乘法。
第二，當樣本特徵n非常的大的時候，計算xtx
xtx的逆矩陣是乙個非常耗時的工作（nxn的矩陣求逆），甚至不可行。此時以梯度下降為代表的迭代法仍然可以使用。那這個n到底多大就不適合最小二乘法呢？如果你沒有很多的分布式大資料計算資源，建議超過10000個特徵就用迭代法吧。或者通過主成分分析降低特徵的維度後再用最小二乘法。
第三，如果擬合函式不是線性的，這時無法使用最小二乘法，需要通過一些技巧轉化為線性才能使用，此時梯度下降仍然可以用。
第四，講一些特殊情況。當樣本量m很少，小於特徵數n的時候，這時擬合方程是欠定的，常用的優化方法都無法去擬合資料。當樣本量m等於特徵數n的時候，用方程組求解就可以了。當m大於n時，擬合方程是超定的，也就是我們常用與最小二乘法的場景了。
最小二乘法以及最小二乘法和梯度下降法的區別
通過這段描述可以看出來，最小二乘法也是一種優化方法，求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合，來解決回歸問題。難怪 統計學習方法 中提到，回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，回歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。二.最小二乘...
機器學習 最小二乘法和梯度下降法
一.背景 通過這段描述可以看出來，最小二乘法也是一種優化方法，求得目標函式的最優值。並且也可以用於曲線擬合，來解決回歸問題。難怪 統計學習方法 中提到，回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，回歸問題可以著名的最小二乘法來解決。看來最小二乘法果然是機器學習領域做有名和有效的演算法之一。二...
最小二乘法和梯度下降法有哪些區別？
最小二乘法的目標 求誤差的最小平方和，對應有兩種 線性和非線性。線性最小二乘的解是closed form即 迭代法，即在每一步update未知量逐漸逼近解，可以用於各種各樣的問題 包括最小二乘 比如求的不是誤差的最小平方和而是最小立方和。梯度下降是迭代法的一種，可以用於求解最小二乘問題 線性和非線性...