堆排序原理及其實現 C

我們知道簡單選擇排序的時間複雜度為o(n^2)，熟悉各種排序演算法的朋友都知道，這個時間複雜度是很大的，所以怎樣減小簡單選擇排序的時間複雜度呢？簡單選擇排序主要操作是進行關鍵字的比較，所以怎樣減少比較次數就是改進的關鍵。簡單選擇排序中第i趟需要進行n-i次比較，如果我們用到前面已排好的序列a[1...i-1]是否可以減少比較次數呢？答案是可以的。舉個例子來說吧，a、b、c進行比賽，b戰勝了a，c戰勝了b，那麼顯然c可以戰勝a，c和a就不用比了。正是基於這種思想，有人提出了樹形選擇排序：對n個記錄進行兩兩比較，然後在([n/2]向上取整)個較小者之間在進行兩兩比較，如此重複，直到選出最小記錄。但是這種排序演算法需要的輔助空間比較多，所以威洛姆斯(j . willioms)在2023年提出了另一種選擇排序，這就是下面要談的堆排序。www.gaimor.cn

首先堆heap是一種資料結構，是一棵完全二叉樹且滿足性質：所有非葉子結點的值均不大於或均不小於其左、右孩子結點的值.

堆排序的基本思想是利用heap這種資料結構(可看成乙個完全二叉樹)，使在排序中比較的次數明顯減少。

堆排序的時間複雜度為o(n*log(n))，非穩定排序，原地排序(空間複雜度o(1))。

wwwww.gaimor.cn堆排序的關鍵在於建堆和調整堆，下面簡單介紹一下建堆的過程：

第1趟將索引0至n-1處的全部資料建大頂(或小頂)堆，就可以選出這組資料的最大值(或最小值)。將該堆的根節點與這組資料的最後乙個節點交換，就使的這組資料中最大(最小)值排在了最後。

第2趟將索引0至n-2處的全部資料建大頂(或小頂)堆，就可以選出這組資料的最大值(或最小值)。將該堆的根節點與這組資料的倒數第二個節點交換，就使的這組資料中最大(最小)值排在了倒數第2位。

第k趟將索引0至n-k處的全部資料建大頂(或小頂)堆，就可以選出這組資料的最大值(或最小值)。將該堆的根節點與這組資料的倒數第k個節點交換，就使的這組資料中最大(最小)值排在了倒數第k位。www.acgred.cn

其實整個堆排序過程中, 我們只需重複做兩件事：

因而堆排序整體的時間複雜度為o(n*log n).

下面通過一組資料說明堆排序的方法：

9, 79, 46, 30, 58, 49

1: 先將待排序的數視作完全二叉樹(按層次遍歷順序進行編號, 從0開始)，如下圖:

2：完全二叉樹的最後乙個非葉子節點，也就是最後乙個節點的父節點。最後乙個節點的索引為陣列長度len-1，那麼最後乙個非葉子節點的索引應該是為(len-1)/2.也就是從索引為2的節點開始，如果其子節點的值大於其本身的值。則把他和較大子節點進行交換，即將索引2處節點和索引5處元素交換。交換後的結果如圖：

建堆從最後乙個非葉子節點開始即可

3：向前處理前乙個節點，也就是處理索引為1的節點，此時79>30,79>58,因此無需交換。

4：向前處理前乙個節點，也就是處理索引為0的節點，此時9 < 79,9 < 49, 因此需交換。應該拿索引為0的節點與索引為1的節點交換，因為79>49. 如圖:

5：如果某個節點和它的某個子節點交換後，該子節點又有子節點，系統還需要再次對該子節點進行判斷。如上圖因為1處，3處，4處中，1處的值大於3,4出的值，所以還需交換。

牢記：將每次堆排序得到的最大元素與當前規模的陣列最後乙個元素交換。

1、由於是完全二叉樹, 故有:

parent(i)
return i / 2
left(i)
return 2 * i
right(i)
2 * i + 1

2、heapify

以最大堆為例，偽**：

max-heapify(a, i)

l = lift(i)
r = right(i)
if l <= a.heapsize and a[l] > a[i]
largest = l
else largest = i
if r <= a.heapsize and a[r] > a[largest]
largest = r
if largest != i
exchage a[i] with a[largest]
max-heapify(a, largest)

3、build heap

以最大堆為例，偽**：

build-max-heap(a)

a.heap-size = a.length
for a.length / 2 downto 1
max-heapify(a, i)

4、heapsort

以最大堆為例，偽**：

heapsort(a)

build-max-heap(a)

for i = a.length downto 2
exchange a[1] with a[i]
a.heap-size = a.heap-size - 1
max-heapify(a, 1)

#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
void adjust(int arr, int len, int index)
}void heapsort(int arr, int size)
for(int i = size - 1; i >= 1; i--)
}int main()
;    heapsort(array, 8);
for(auto it: array)

當陣列中有相等元素時，堆排序演算法對這些元素的處理方法不止一種，故是不穩定的。

#include
#include
#include
void swap(void* x, void* y, size_t sz) 
void makeheap(void* x, int i, int n, size_t sz, int(*cmp)(const
void*, const
void*)) 
}void buildheap(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const
void*, const
void*)) 
void heapsort(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const
void*, const
void*)) 
}void p(int* x,int n)
printf("\n");
}int less(const
void* a, const
void* b)
int greater(const
void* a, const
void* b)
int main();
// 降序全排列
heapsort(x, 8, sizeof(int), less);
p(x, 8);
// 公升序全排列
heapsort(x, 8, sizeof(int), greater);
p(x, 8);
// 最大的4個元素，在陣列末尾
heapsort(x, 4, sizeof(int), less);
p(x, 8);
}

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