點雲法向量的估計在很多場景都會用到，比如icp配準，以及曲面重建。
基於pca的點雲法向量估計，其實是從最小二乘法推導出來的。假設我們要估計某一點的法向量，我們需要通過利用該點的近鄰點估計出乙個平面，然後我們就能計算出該點的法向量。或者可以這麼說，通過最小化乙個目標函式（要求的引數為法向量），使得該點與其每個近鄰點所構成的向量與法向量的點乘為0，也就是垂直：
正常情況下，我們可以將點c看成是某一領域中所有點的中心點： m=
1n∑i
=1nx
i m=1
n∑i=
1nxi
同時： yi
=xi−
m yi=
xi−m
這樣，優化目標函式變為：
我們進一步對目標函式進行推導：
上面的優化目標函式等於： f(
n)=n
tsn其
中，s=
(yyt
)min
(f(n
))s.
t.nt
n=1 f(n
)=nt
sn其中
，s=(
yyt)
min(
f(n)
)s.t
.ntn
=1其中，yy
t yy
t是乙個3×3的協方差矩陣，x，y，z座標的協方差矩陣。
對於這種有約束的優化目標函式，我們可以用拉格朗日演算法進行求解：
λn?有沒有很眼熟，其實就是線性代數裡面的特徵值和特徵向量的相關公式。也即是，
λ λ
是矩陣s的特徵值，法向量是對應的特徵向量。
所以法向量n的求解就是要對s進行向量分解。然後取特徵值最小的特徵向量作為求解的法向量。這個過程也就是pca的乙個標準求解過程，將每個鄰域點與該鄰域的中心點相減，得到乙個n×3的矩陣。接著，用svd對該矩陣進行分解，得到： y=
uσv∗
y =u
σv∗u中最後一列就是要求解的法向量n，也就是特徵值最小的特徵向量。
為什麼是特徵值最小的？我個人理解是：pca的協方差矩陣的特徵值越大，其特徵向量就越能夠描述資料的特徵。越小就越不能區分樣本之間的不同，也就是表徵了資料中的共性。在我們的優化目標函式中，就是要為所有的鄰域點尋找乙個平面，使得所有的鄰域點都在這個平面上，或者說所有點與該平面的距離最小，而不是而不是最大。而這個平面就是能夠描述這些點的共性，即他們的法向量都一樣。
也可以用另外乙個求法，直接對協方差矩陣s，求解特徵值和特徵向量，然後取最小的特徵值對應的特徵向量。另外，也不一定用中心點m作為c，可以用點雲中要求解法向量的頂點作為頂點c。
在求出法向量後還需要判斷法向量的方向，一般來說法向量方向的矯正沒有嚴格的數學公式可以使用。比較簡單的方法是通過視點方向進行判斷。比如我的視點方向是（0,0,1），那麼求出來的法向量跟（0,0,1）進行點乘，如果小於0，就將法向量取反。更複雜的方法是使用最小生成樹對法向量進行方向矯正。
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