時間限制:10000ms
單點時限:1000ms
記憶體限制:256mb
描述小hi和小ho一直使用加密的方式傳輸訊息。他們使用如下方法來生成一組密碼：
首先小hi和小ho選擇乙個整數 n = pk（其中p質數、k是正整數，也即n是質數或質數的冪）。
其次，他們會求出兩個整數a和b滿足0 < a < b < n，並且, *(n)}恰好構成乙個合法的群，其中*(n)表示模n意義下的乘法。
最後小hi選擇a作為金鑰、小ho選擇b作為金鑰。
給定乙個整數n= pk，你能幫小hi和小ho求出各自的金鑰嗎？
輸入第一行乙個整數t表示資料組數，接下來t行每行乙個整數n，意義和描述一樣。
1 ≤ t ≤ 50
對於30%的資料，滿足n ≤ 100
對於60%的資料，滿足n ≤ 106
對於100%的資料，滿足n ≤ 109
輸出輸出t行，每行3個整數表示1, a, b代表群的3個元素。如果不存解，輸出乙個-1。
樣例輸入17
樣例輸出
1 2 4
題目大意是給定n=p^k, p為素數.求三元組 1 < a < b構成乙個合法群
這種題目不看題解或**很難做出來.
首先證明必然 a^2 =b(mod n)或(b^2) = a(mod n),如果不,則a^2 = 1(mod n) 並且b^2 = 1(mod n) 並且a*b=1(mod n),群裡面就三個數,a,b必然互為逆元.兩邊同乘以b,可得a=b(mod n),矛盾,所以:a^2 =b(mod n)或(b^2) = a(mod n)
設a^2=b(mod n),由費馬小定理可得x^phi(n) = 1(mod n),x為與n互素的整數
如果phi(n) % 3 == 0,則必然存在a=x ^ (phi(n)/3),滿足條件.
如果phi(n) % 3 != 0,設phi(n) = 3 * k + y (y=1,2),如果存在a^3 = 1(mod n),則a^phi(n) = a^y = 1(mod n),則a的一次方或二次方裡必然有乙個mod n = 1,造成找不到所需三元組的情況.
至於phi(n) % 3 == 0, 為什麼必然存在a滿足條件, 可以用域裡面本原元必然存在來證明,找到本原元的phi/3次方必然可以作為a,至於本原元為什麼必然存在,在看ntt演算法的時候查過一次證明,說什麼群論裡的基礎,不過沒有看懂
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