面試中的演算法

catalan數的定義：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
遞推式可表示為：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

1.買票找零

有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

題目另一種形式：有n對左括號和右括號，現在問到底有多少中括號合法匹配的組合？

2.12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？

應用公式：c(2n, n)/(n+1)。
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132
注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

3.括號化

矩陣連乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

h(n-1)種

4.出棧次序

乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?

輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

5.凸多邊形三角劃分

在乙個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f（6）=14。

f（n）= h（n-2） （n=2，3，4，……）

6.一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？

7.在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？

8.給定n個節點，能構成多少種不同的二叉搜尋樹？

（ 能構成h（n）個） （這個公式的下標是從h(0)=1開始的）

定義：

這組數列是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，以至無窮。這組數列由1開頭，隨後緊接乙個1，前兩個數字相加，1+1得出第三個數是2，然後第二個數與第三個數相加，1+2得出第四個數是3。緊接著，第三個數與第四個數相加，2+3 得出第五個數是 5。以此類推。而斐波那契數列中相鄰兩項之商就接近**分割數0.618，這組數列成為斐波那契數列。

解法：

2.兔子繁殖問題

一般而言，兔子在出生三個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

幼仔對數=前月成兔對數

成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數

總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數

可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了乙個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。

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