先熟悉一下斐波那契數列
比如下邊這個數列
0,1,1,2,3,5,
8,13,21...
在遞迴上這個方法定義為 f(0)=0;f(1)=1;f(n)=f(n-1)+f(n-2);
接下來我們推一下斐波那契數列的通項公式(待定係數法)
設常數r,s使得
f(n)-rf(n-1)=s*[f(n-1)-r*(f(n-2))] 這個公式為一下推導的關鍵
移項合併可得
r+s=1 -rs=1
在n>=3時，有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
......
f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
由上面的式子可得 f(n)-r*f(n-1)=s^(n-2)*[f(2)-r*f(1)];
則由上面公式可以求得f(n)=(s^n-r^n)/(s-r)
由r+s=1 -rs=1
得 s=(1+sqrt（5）)/2 s=(1-sqrt(5))/2
則f(n)=sqrt(5)/5[s^n-r^n]
下面給出乙個例題加以分析
考慮以下定義在非負整數n上的遞迴關係：
其中a、b是滿足以下兩個條件的常數：
給定f0, f1, a, b和 n，請你寫乙個程式計算f(n)，可以假定f(n)是絕對值不超過109的整數(四捨五入)。
輸入檔案一行依次給出5個數，f0 ,f1,a,b和n,f0,f1是絕對值不超過109 ，n是非負整數，不超過109。另外，a、b是滿足上述條件的實數，且|a|,|b|≤106 。
一行,f(n)的值
0 1 1 1 20
6765根據上邊筆者給出的公式推論 可以得到這個題中的公式推論
f(n)=k^n*(f(1)-m*f(0))-m^n(f(1)-k*f(0))/(k-m)
其中m=(a+sqrt(a^2+4b))/2,k=(a-sqrt(a^2+4b))/2
附上實現**（在下邊**中筆者使用的是遞迴求冪次 讀者也可使用快速冪來求解）
#include#include#includeusing namespace std;
int n;
double f0,f1,a,b,m,k,ans;
/*在c/c++中，為了解決一些頻繁呼叫的小函式大量消耗棧空間（棧記憶體）的問題，特別的引入了inline修飾符，表示為內聯函式。
棧空間就是指放置程式的區域性資料（也就是函式內資料）的記憶體空間。*/
inline double s(double a,int b)
int main()
m = (a+sqrt(a*a+4*b))/2;
k = (a-sqrt(a*a+4*b))/2;
ans = (s(k,n)*(f1-m*f0)-s(m,n)*(f1-k*f0))/(k-m);
printf("%.0lf\n",ans);
return 0;
}
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