問題描述：給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。
問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？
題目分析：從n種物品中選擇m種商品放入容量為c的揹包，v1+v2+v3+……+vm最大，即求最優解，這裡我們使用動態規劃來解決該問題。題目需要求解揹包容量為c時的最優解，那麼我們可以分解問題，讓揹包容量從1增加到c，依次求解容量為1時的最優解、容量為2時的最優解；那麼基於動態規劃求最優解的性質——將子問題的最優解集合之後就是總問題的最優解，我們即可求得揹包問題的最優解。
動態規劃：動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。
實現思路：宣告乙個陣列table[n+1][c+1]，table[i][j]表示在揹包容量為 j 、選擇第 i 件商品的時候所能獲得商品的最大價值。現在我們需要實現乙個函式 inittable(int value, int weight, int n, int capacity)，該函式用來初始化這個table，value[i]陣列表示第 i 個商品的價值（i 從1開始計算），weight[i] 表示第 i 個商品的權值，即所佔揹包的容量。
面對乙個商品，我們有裝入揹包和不裝入揹包兩種選擇，那麼我們來分析一下table[i][j] 的計算方法。
（1） j < w[i] 的情況，這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿：m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2） j >= w[i] 的情況，這時揹包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。
拿：table[i ][j] = table[ i-1 ][ j - weight[i] ] + value[ i ]
不拿：table[i ][j] = table[ i - 1 ][ j ]
我們需要比較兩種情況下的table[i ][j]值，做出相應選擇。
現在我們寫出實現**：
/**
* 初始化table，table右下角的值即為最優解
* @param value 價值陣列
* @param weight 權值陣列
* @param n 商品種類
* @param capacity 揹包容量
* @return table
*/private static int inittable(int value, int weight, int n, int capacity)
int table = new int[n + 1][capacity + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++) else else }}
} return table;
}
1) table[ i ][ j ] = table[ i -1 ] [ j ] 時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到v(i-1,j)；
2)table[ i ][ j ] = table[ i - 1 ] [ j - weight [i] ] + value[i]
時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到v(i-1,j-w(i))；
3) 一直遍歷到 i < 0結束為止，所有解的組成都會找到。
**如下：
/**
* 通過回溯獲得選擇的商品：根據最優解回溯找出解的組成
* @param i
* @param j
* @param table 資訊記錄表
* @param weight 權值陣列
* @param value 價值陣列
* @param result 返回結果陣列
*/private static void findchoice(int i, int j, int table, int weight, int value, int result) else if(table[i][j] == (table[i-1][j-weight[i]] + value[i]))
} }
public static void main(string args)
value = new int[n+1];
weight = new int[n+1];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
int table = inittable(value, weight, n, capacity);
system.out.println("最優解：" + table[n][capacity]);
int choice = new int[n+1];
findchoice(n, capacity, table, weight, value, choice);
system.out.println("選擇商品陣列，1表示選擇，0表示沒有選擇:" + arrays.tostring(choice));
sc.close();
}
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...