編譯原理之證明LL 1 文法

ll(1)文法的證明方法

乙個文法g是ll(1)的，當且僅當g的任意兩個不同的產生式a -> α | β 滿足下面的條件：

1. 不存在終結符號a使得α 和 β 都能夠推導出以a開頭的串。

2. α 和 β中最多只有乙個可以推導出空串。

3. 如果 β =>* ε，那麼α不能推導出任何以follow(a)中某個終結符號開頭的串。類似的，如果 α =>* ε，那麼β不能推導出任何以follow(a)中某個終結符號開頭的串。

前面兩個條件等價說first(α) 和first(β)是不相交的集合。第三個條件等價於說如果ε在first(β)中，那麼first(α)和follow(a)是不相交的集合，並且當ε在first(α)中時類似結論成立。

舉個小栗子

文法g[e]:

1. e -> te』

2. e』-> +e| ε

3. t -> ft』

4. t』-> t| ε

5. f -> pf』

6. f』 -> *f』| ε

7. p -> (e) | a | b | ∩

證明該文法是ll(1)文法

(1) first集合(這裡只求非終結符號的first集合)

first(e) =

first(t) =

first(f) = ;

first(p) = ;

first(e』) = ;

first(t』) = ;

first(f』) = ;

follow(e) = follow(e』) +

follow(e』) = follow(e) =

follow(t) = first(e』) / ε +follow(t』) =

follow(t』) = follow(t) =

follow(f) = first(t』) / ε +follow(t) =

follow(f』) = follow(f) =

follow(p) = first(f』) / ε + follow(f) =

編譯原理之計算first集合和follow集合

(3) 證明是ll(1)文法

對於e』-> +e』| ε ，( first(+e』) = ) ∩ ( first( ε ) = )= ∅

對於t』-> t| ε ，( first(t) = ) ∩ ( first( ε ) = )= ∅

對於f』 -> *f』| ε ，( first(*f』) = ) ∩ ( first( ε ) = )= ∅

對於p -> (e) | a | b | ∩ ，( first( (e) ) = ) ∩ ( first( a ) = ) ∩ ( first( b ) = ) ∩ ( first( ∩ ) = )= ∅

對於e』-> +e| ε , (first(+e) = ) ∩ (follow(e』) = ) = ∅

對於t』-> t| ε , (first(t) =( , a , b , ∩) ∩ (follow(t』) = ) = ∅

對於f』 -> *f』| ε , (first(*f』) = ) ∩ (follow(f』) = ) = ∅

得證，該文法是ll(1)文法。

小練習下面哪些文法是ll(1)的，並說明理由

(1) 文法：

1. s -> abc

2. a -> a | ε

3. b -> b | ε

(2) 文法：

1. s -> abba

2. a -> a | ε

3. b -> b | ε

(1)該文法不含有左遞迴

first集合

first(s) =

first(a) =

first(b) =

follow(s) =

follow(a) =

follow(b) =

對於b -> b | ε ，first(b) ∩ first( ε ) = ∅

first(a) ∩ follow(a) = ∅

first(b) ∩ follow(b) = ∅

符合ll(1)文法的要求，是ll(1)文法。

(2)該文法不含有左遞迴

1. s -> abba

2. a -> a | ε

3. b -> b | ε

first集合

first(s) =

first(a) =

first(b) =

follow(s) =

follow(a) =

follow(b) =

因為 b -> b | ε，first(b) ∩ follow(b) ≠ ∅

不符合ll(1)文法的要求，不是ll(1)文法

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