二叉堆滿足二個特性:
1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何乙個子節點的鍵值
2．每個結點的左子樹和右子樹都是乙個二叉堆（都是最大堆或最小堆
當父結點的鍵值總是大於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最小堆
堆的主要操作是插入和刪除最小(最大)元素(元素值本身為優先順序鍵值，小元素享有高優先順序)。在插入或者刪除操作之後，我們必須保持該實現應有的性質: 1.完全二叉樹2.每個節點值都小於或等於它的子節點。
以下的所有操作都以以最小堆為例，最大堆是同樣的道理。
1. 堆的儲存
一般都用陣列來表示堆，
i i
結點的父結點下標就為(i
–1)/
2' role="presentation" style="position: relative;">(i–
1)/2
(i–1
)/2。它的左右子結點下標分別為2∗
i+1 2∗i
+1和2∗i+
2 2∗i
+2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。
2. 插入
在插入操作的時候，將新插入的節點放在完全二叉樹最後的位置，再和父節點比較。如果new節點比父節點小，那麼交換兩者。交換之後，繼續和新的父節點比較…… 直到new節點不比父節點小，或者new節點成為根節點。這樣得到的樹，就恢復了堆的性質。
# 列印的結果是
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 4]
這個在python中已有自帶的官方庫heapq實現
from heapq import *
x = [9,7,6,4,3,1]
# build heap
heapify(x)
print(x)
# insert
print(x)
'''列印結果如下'''
# 原始堆
[1, 3, 6, 4, 7, 9]
# 插入2之後的結果
[1, 3, 2, 4, 7, 9, 6]
刪除操作只能刪除根節點。根節點刪除後，我們會有兩個子樹，我們需要基於它們重構堆。 讓最後乙個節點last成為新的節點，從而構成乙個新的二叉樹。再將last節點不斷的和子節點比較。如果last節點比兩個子節點中小的那乙個大，則和該子節點交換。直到last節點不大於任一子節點都小，或者last節點成為葉節點。
# 列印的結果是
[2, 4, 6, 7, 8, 13]
用heapq實現是
x = [1, 3, 2, 4, 7, 9, 6]
# delete
print(min_value)
print(x)
'''列印的結果是'''
1# 彈出的最小元素
[2, 3, 6, 4, 7, 9] # 刪除後的結果
有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對乙個資料進行堆化操作。
# build minheap
defmakeminheap
(a):
n = len(a)
for i in range(n/2-1, -1, -1):
minheapfixdown(a, i)
if __name__ == '__main__':
c = [9,5,3,1,6,7,3,10,8]
makeminheap(c)
print(c)
# 列印的結果是
[1, 5, 3, 8, 6, 7, 3, 10, 9]
from heapq import *
x = [9,7,6,4,3,1]
# build heap
heapify(x)
'''列印的結果'''
[1, 3, 6, 4, 7, 9] # 建好的堆
n)o (n
)首先可以看到堆建好之後堆中第0個資料是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個資料又是堆中最小的資料，重複上述步驟直至堆中只有乙個資料時就直接取出這個資料。
# heap sort
defheapsort
(nums):
ans =
# 建堆
makeminheap(nums)
while len(nums) > 1:
minheapdeletenumber(nums)
return ans
if __name__ == '__main__':
nums = [1,4,2,5,6,8,4]
print(heapsort(nums))
# 列印的結果是
[1, 2, 4, 4, 5, 6, 8]
nums = [1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0]
heapify(nums)
res =
while nums:
print res
'''列印的結果是'''
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
堆排序的時間複雜度:由於每次重新恢復堆的時間複雜度為o(
logn
) o(l
ogn)
，共n−
1 n−1
次重新恢復堆操作，再加上前面建立堆時間複雜度o(
n)o (n
)。二次操作時間相加還是o(
nlog
n)o (n
logn
)
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