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數值計算實驗二**以及實驗報告位址
實驗題目：實驗**：1、高斯消元法 computer problems p100 2.2，（a）（b）
(1)用matlab語言提供的方法解方程組（x=a\b）
(2)寫出直接lu分解函式（參考例2.13），給出a的直接lu分解結果
(3)寫前代、回代函式。結合lu分解，前代、回代解（a）（b）方程組。
(4)直接使用軟體環境提供的函式lu分解函式、解方程組方法比較
說明：(2)、(3)，這幾部分不得直接使用軟體環境提供的函式完成，可以參考課本上的演算法流程實現
%實驗二第一問 解方程組（x=a\b）
a = [2,4,-2;4,9,-3;-2,-1,7];
b = [2;8;10];
c = [4;8;-6];
x = a\b;
y = a\c;
fprintf('結果為：');
xy
function [ l,u,p ] = mylu( a )
%untitled2
此處顯示有關此函式的摘要
% 此處顯示詳細說明
% lu 三角分解
%[l,u,p] = mylu(a)
%生成單位下三角矩陣l，上三角矩陣u，以及排列向量p
%滿足：l*u = a(p,:)
%本函式可以解決主元位置上有0的情況
%獲得a的行數和列數
[n,n] = size(a);
%定義排列向量p
p = (1:n)';
%for
迴圈，用 k 記錄消元步數
for k = 1:n-1
%為了排除第k列全為0以及主元位置為0
%先找出第k列的對角元及以下元素的絕對值的最大值
[r,m] = max(abs(a(k:n,k))); % r為最大值，m 為相對行數
m = m+k-1; %此時 m 為最大值在a中對應的 行數
%如果第k列全為0 ，則跳過消元過程
if (a([m,k]) ~= 0)
%避免主元為0，將絕對值最大值交換到主元所在行,現在的主元是對角元
if( m ~= k)
a([k m],:) = a([m k],:); %矩陣a兩行進行交換
p([k m]) = p([m k]) ; %排列向量p 兩行進行交換
end%計算第k列元素除以主元後得到的數
i = k+1:n;
a(i,k) = a(i,k)/a(k,k);
%更新矩陣剩餘部分
j = k+1:n;
a(i,j) = a(i,j) - a(i,k)*a(k,j);
endend%分離結果
l = tril(a,-1) + eye(n,n); %tril()函式提取矩陣的下三角部分，eye()獲得單位矩陣
u = triu(a); %tril()函式提取矩陣的上三角部分
end
%實驗二的（2）寫出直接lu分解函式，給出a的直接lu分解結果
a = [2,4,-2;4,9,-3;-2,-1,7];
[l,u,p] = my_lu(a);
fprintf('矩陣a的 l*u 分解為：');lu
fprintf(' l*u 形成矩陣 lu 為：');
lu = l*u
fprintf(' 排列向量 p 為：');
p'fprintf('矩陣 a 為：');
a
function
x = myforward
(l,x)
%my_forward 前向消元，前代
%對於下三角矩陣l， x = my_forward(l,b)給出 l*x = b 的解x
[n,n] = size(l);
%消元過程
for k = 1:n
j = 1:k-1 ;
x(k)= x(k) - l(k,j)*x(j);
x(k)= x(k)/l(k,k);
endend
function
x = myback
(u,x)
% my_back 後向消元
%對於上三角矩陣u， x = my_back(u,y) 給出 u*x = y 的解x
[n,n] = size(u);
%消元過程
for k = n:-1:1
j = k+1:n ;
x(k) = (x(k) - u(k,j)*x(j))/u(k,k);
endend
%第三問 寫前代、回代函式。結合lu分解，前代、回代解（a）（b）方程組。
a = [2,4,-2;4,9,-3;-2,-1,7];
b = [2;8;10];
c = [4;8;-6];
[l,u,p] = mylu(a);
%重新排列 b ，向前消元，l*u*x1 = b，其中 l*y1 = b
y1 = myforward(l,b(p));
%反向回代
x1 = myback(u,y1);
fprintf('利用前代、回代函式，結合lu分解，得到的答案 x 為：')
x = x1
%重新排列 c ，向前消元，l*u*x2 = c，其中 l*y2 = c
y2 = myforward(l,c(p));
%反向回代
x2 = myback(u,y2);
fprintf('利用前代、回代函式，結合lu分解，得到的答案 y 為：')
y = x2
%實驗二的第四問 直接使用軟體環境提供的函式lu分解函式
[l,u,p] = lu(a);
fprintf('得到的 l*u 分解為：');
lu
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