網路流之最大流

因為網上介紹網路流和最大流理論的文章非常的多，也都解釋的非常清晰並附帶**。再加上繪圖技術不佳，語文表達極差，就只講解一下程式實現部分。想看理論講解及演算法正確性證明的讀者可以上網搜一搜，這裡推薦一篇部落格，鏈結如下：

那麼，既然網上的資源那麼多，為什麼還要寫這篇部落格呢？一是為了湊數做筆記，二是網上的許多演算法模板都十分工程化，變數名賊長，**量巨大也不容易理解，在博主初學時帶來了不小麻煩。於是，本著能水一篇是一篇普度眾生的情懷，博主在這裡就講解一下，最大流的幾種演算法與自認為很簡潔的**。

1.ford-fulkerson（二f）演算法

因為本演算法博主並沒有學比較簡單且時間複雜度極高，基本被演算法競賽淘汰了，故不多作講解，感興趣的讀者請自行搜尋。

2.edmonds-karp（ek）演算法

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

5 a b 3

b c 3

c d 5

d z 4

b z 6

輸出樣例#1：

3 反正這個題只是讓大家檢驗一下自己編的演算法正確性的，博主直接上**，本篇部落格的重點放在下乙個演算法，**如下：

#include
using namespace std;
ints
q[300][300];//存圖
int flow[300];//存流量
int pre[300];//記錄增廣路路徑
int n;
queuedui;//bfs佇列
int bfs(int
s,int e)//bfs尋找增廣路
for(int i=1;i<=60;i++)
pre[s]=0;
flow[s]=1e9;
dui.push(s);
while(!dui.empty())
for(int i=1;i<=60;i++)}}
if(pre[e]==-1)
return flow[e];//返回最小流量
}int maxf(int
s,int e)
sum+=in;//記錄流量
in=bfs(s,e);
}return sum;
}int main()
printf("%d",maxf(1,26));
return
0;}

就這樣把兩個演算法水過了，相信大家一定受益匪淺，那麼接下來就進入本篇部落格的重點。

3.dinic演算法

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

4 5 4 3

4 2 30

4 3 20

2 3 20

2 1 30

1 3 40

輸出樣例#1：

50 dinic演算法的主要優化，就是加了乙個bfs分層，將網路分成多個層次，每次dfs尋找增廣路時都只搜尋下一層，返回的時候修改殘量網路裡的值。

定義結構體/陣列如下

const
int inf=0x3f3f3f3f;
const
int maxn=1e6+5;
struct edge;
edge ed[maxn<<1];//儲存邊，注意要開兩倍大小
int g=0;//記錄邊的數量，只在加邊的時候有用
vector
sq[maxn];//儲存已該為起點的邊的編號

這個結構體只用維護兩個量，相較網上的其他結構體比較簡單。

接下來是加邊的函式，**如下：

void add(int
x,int
y，int a)
;//相當於將乙個fl=a，to=y的edge型別變數放進ed陣列
sq[x].push_back(g++);//將這個邊的編號push進去
ed[g]=(edge);
sq[y].push_back(g++);//同上
}

到目前為止，dinic都十分簡單，接下來是bfs分層函式，跟普通的bfs相比只改動了一點，應該也很好懂，上**，詳細講解見注釋：

int d[maxn];
bool bfs(int s,int e)//s起點，e終點
d[to]=d[lo]+1;
dui.push(to);//普通的bfs}}
return d[e];//返回終點的層數，沒有標記過就會返回false，其他都是true
}

跟普通bfs完全只有一行**有區別對吧，相信大家依然活力十足，想要繼續讀完這篇部落格（手動滑稽），接下來就是dfs找增廣路了。

int dfs(int
s,int e,int minn)//s起點，e終點，minn記錄增廣的值
int ans=0;
for(int i=s
q[s].size()-1;i>=0;i--)
int tmp=dfs(to,e,min(minn-ans,fl));//遞迴搜尋
if(!tmp)//如果返回值已經為0，直接進入下乙個遞迴，不再回溯
ed[hh].fl-=tmp;
ed[hh^1].fl+=tmp;//修改邊的流
ans+=tmp;//記錄增廣的值
}return ans;
}

dinic的主要函式都已經講的差不多了，依然非常的簡單，最後來個dinic函式解決戰鬥

int dinic(int s,int e)
return ans;
}

在最最最後，貼上博主自認為簡潔的**，方便大家複製。

#include
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+5;
struct edge;
edge ed [maxn<<1];
vectors
q[maxn];
int g=0;
void add(int
x,int
y,int a)
;    s
q[x].push_back(g++);
ed[g]=(edge);
sq[y].push_back(g++);
}int d[maxn];
bool bfs(int
s,int e)
d[to]=d[lo]+1;
dui.push(to);}}
return d[e];
}int dfs(int
s,int e,int minn)
int ans=0;
for(int i=s
q[s].size()-1;i>=0;i--)
int tmp=dfs(to,e,min(minn-ans,fl));
if(!tmp)
ed[hh].fl-=tmp;
ed[hh^1].fl+=tmp;
ans+=tmp;
}return ans;
}int dinic(int
s,int e)
return ans;
}int main()
printf("%d",dinic(s,e));
return
0;}

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