czl的知識點整理4 線段樹

首先對於線段樹，其實與其他各種樹都是一樣的，都有著樹形的結構。接下來讓我們考慮一些問題：

~~給出乙個陣列，要求滿足下面的操作：

~~①給定三個值x，y，z，要求吧【x，y】區間的每個數都加上z。

~~②給定兩個值x，y，要求輸出【x，y】區間的最大值（or最小值or和）。

如果我們用暴力做這些問題，那麼對於操作①和②，每次的複雜度為區間的長度。這種方法在資料比較小的時候可以直接用，在資料比較大的情況下就很難滿足時間限制了。這個時候我們就需要用到線段樹。

線段樹，最主要的點就在於它可以滿足對於乙個區間的詢問以及操作，達到o（log）的時間複雜度，能夠更好的滿足資料實時更新的題目要求。

接下來我們就來構建一棵線段樹。首先我們需要考慮線段樹的每個定點上面儲存的值是什麼。由於我們查詢的時候是直接查詢線段樹定點的值，所以我們線段樹的定點所儲存的值就是我們題目中所要求的值（區間最大值or區間最小值or區間和）。然後每次查詢只要從根節點開始查詢，如果當前查詢到的區間在所詢問的區間之內，那麼就返回當前區間的值，否則就繼續向下查詢。

接下來我們分別來介紹線段樹的每個操作（蒟蒻不怎麼會用指標~~見諒）：

假定我們有乙個7個數的陣列：1 5 6 9 2 3 4

那麼下面這幅圖就是該陣列的線段樹（區間最小值）表示：

~~①建樹（最基本的~）

首先，由於乙個節點記錄的是乙個區間的最小值，而每個節點的值又會受到下面節點的影響，所以我們可以嘗試著用遞迴的方式來寫。蒟蒻用的是陣列記錄（不怎麼會指標），以零為起點，所以兩個孩子節點就是pos*2+1和pos*2+2。我們定義如下的結構體：

struct node
no[maxn*4];//這裡是很多新手會犯的錯誤之一，因為線段樹是二叉樹，但在最後一層，有很多的子節點是遞迴所要用到的，但是其本身卻沒有存在的意義，所以線段樹的陣列大小一般要開大到原來的2~4倍左右

當遞迴到區間的長度只有1的時候，那麼這個節點的值就是陣列中對應的值，然後回溯回去，比較得出每個非葉子節點的值。

void build(int
pos,int l,int r)
else 
}

~~②查詢某個區間的給定值（最大值or最小值or和）

int find(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r)
if(nowl>=l&&nowr<=r)
int mid=(nowl+nowr)>>1;
return min(find(pos
*2+1,nowl,mid,l,r),find(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r));
}

到現在來看，如果線段樹只有這些，那麼還算是比較簡單的了，但是線段樹核心的優化就在於其修改的操作，大大降低了線段樹的總複雜度。

~~③對某一區間的值進行修改

到這一步，我們就要引進乙個新的引數：addmark。把這個引數作為延時標記，具體的作用在下面進行重點講解。

~（1）定義的結構體進行改變：

struct node
no[maxn];

~（2）建樹的時候順便進行初始化，其餘沒變化：

void build(int
pos,int l,int r)
else 
}

~（3）新加入乙個操作：push_down，目的在於把延時標記addmark向節點下方傳遞。

void push_down(int now)
}

~（4）查詢的同時進行push_down操作，實時更新陣列資料。（本蒟蒻認為線段樹最為優秀也是最核心的乙個點，最後會進行專門的講解）

int find(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r)
if(nowl>=l&&nowr<=r)
push_down(pos);//查詢時向下傳遞addmark(手動高亮)
int mid=(nowl+nowr)/2;
return min(find(pos
*2+1,nowl,mid,l,r),find(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r));
}

~（5）改變區間的值，同時也向下傳遞markdown（運用遞迴）

void change(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r,int addval)
push_down(pos);//向下傳遞addmark
int mid=(nowl+nowr)/2;
change(pos
*2+1,nowl,mid,l,r,addval);
change(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r,addval);//遞迴進行區間改變值
no[pos].val=min(no[pos
*2+1].val,no[pos
*2+2].val);//回溯後改變當前節點的值
}

放出完整的**：

區間最小值：

struct node
no[maxn];
int a[maxn];
void build(int
pos,int l,int r)
else 
}void push_down(int now)
}int find(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r)
if(nowl>=l&&nowr<=r)
push_down(pos);
int mid=(nowl+nowr)/2;
return min(find(pos
*2+1,nowl,mid,l,r),find(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r));
}void change(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r,int addval)
push_down(pos);
int mid=(nowl+nowr)/2;
change(pos
*2+1,nowl,mid,l,r,addval);
change(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r,addval);
no[pos].val=min(no[pos
*2+1].val,no[pos
*2+2].val);
}

區間之和：

typedef long long ll;
struct node
no[maxn*4];
ll a[maxn];
void build(int
pos,int l,int r)
else 
}void push_down(int now,int l,int r)
}ll find(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r)
if(nowl>=l&&nowr<=r)
push_down(pos,nowl,nowr);
int mid=(nowl+nowr)/2;
return find(pos
*2+1,nowl,mid,l,r)+find(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r);
}void change(int
pos,int nowl,int nowr,int l,int r,ll addval)
push_down(pos,nowl,nowr);
int mid=(nowl+nowr)/2;
change(pos
*2+1,nowl,mid,l,r,addval);
change(pos
*2+2,mid+1,nowr,l,r,addval);
no[pos].val=no[pos
*2+1].val+no[pos
*2+2].val;
}

最後對push_down這個操作再進行一波解釋。實際上，線段樹在執行了區間改變量值之後，僅僅只有執行區間所對應節點的值發生了改變。舉個例子，就用我們上面所用的陣列，如果計算的是區間的和的話，那麼應該是下面這棵線段樹：

如果我們進行區間改變值得操作，把1~4的每個點加上4。那麼實際上在change操作完成之後，只有區間1~4的這個節點的值變為了47（21+4*4），而這個節點以下的節點的值都沒有進行改變。直到我們進行查詢操作涉及到了1~4這個區間的時候，我們才會將區間1~4的這個節點的addmark向下進行傳遞。所以本蒟蒻認為線段樹最大的優化便是在這個點上，減少了很多不會對查詢有影響的操作，使得演算法更加優秀。

不過在比賽的時候其實不怎麼推薦用線段樹去解題，真的是能不用就不。第一，線段樹的**量已經有點偏大了，比賽的時候時間本身就比較少。第二，線段樹打完之後仍有許多細節需要調節，也會花費大量的時間。第三，線段樹的陣列要開到原來的2~4倍，所需的空間會比較大。

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