分治法 二分查詢

問題描述:

二分查詢又稱為折半查詢，它要求待查詢的資料元素必須是按關鍵字大小有序排列的。問題描述：給定已排好序的n個元素s1,…,sn，現要在這n個元素中找出一特定元素x。

首先較容易想到使用順序查詢方法，逐個比較s1,…,sn，直至找出元素x或搜尋遍整個序列後確定x不在其中。顯然，該方法沒有很好地利用n個元素已排好序這個條件。因此，在最壞情況下，順序查詢方法需要o(n)次比較。

假定元素序列已經由小到大排好序，將有序序列分成規模大致相等的兩部分，然後取中間元素與特定查詢元素x進行比較，如果x等於中間元素，則演算法終止；如果x小於中間元素，則在序列的左半部繼續查詢，即在序列的左半部重複分解和治理操作；否則，在序列的右半部繼續查詢，即在序列的右半部重複分解和治理操作。可見，二分查詢演算法重複利用了元素間的次序關係。

步驟1：確定合適的資料結構。設定陣列s[n]來存放n個已排好序的元素；變數low和high表示查詢範圍在陣列中的下界和上界；middle表示查詢範圍的中間位置；x為特定元素；

步驟2：初始化。令low=0；high=n-1；

步驟3：middle=(low+high)/2，即指示中間元素；

步驟4：判定low小於等於high是否成立，如果成立，轉步驟5；否則，演算法結束；

步驟5：判斷x與s[middle]的關係。如果x==s[middle]，演算法結束；如果x>s[middle]，則令low=middle+1；否則令high=middle-1，轉步驟3。

設給定的有序序列中具有n個元素。

顯然，當n=1時，查詢乙個元素需要常量時間，因而t(n)=o(1)。

當n>1時，計算序列的中間位置及進行元素的比較，需要常量時間o(1)。遞迴地求解規模為n/2的子問題，所需時間為t(n/2)。

因此，二分查詢演算法所需的執行時間t(n)的遞迴形式為：

當n>1時，t(n)=t(n/2)+o(1)

=……=t(n/2x)+xo(1)

簡單起見，令n=2x，則x=logn。

由此，t(n)=t(1)+logn=o(1)+o(logn)。因此，二分查詢演算法的時間複雜性為o(logn)。

**實現：

#include using namespace std;

int nbinarysearch(int n,int s,int x);
int binarysearch(int s,int x,int low,int high);
int main()
cout
int m1 = nbinarysearch(n,s,x);
int m2 = binarysearch(s,x,0,n-1);
if(m1>=0)
return -1;
}int binarysearch(int s,int x,int low,int high)

測試：

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