協同過濾（collaborative filtering）
在之前的基於內容的推薦系統中，對於每一部電影，我們都掌握了可用的特徵，通過使用這些特徵，並運用線性回歸模型，可訓練得每乙個使用者對某一電影的評分。 相反地，如果我們擁有使用者對每一部電影的評分，我們就可以學習得電影得特徵。
但如果我們既無法得到電影的特徵，也沒有使用者對每一部電影得的評分，之前我們所介紹的方法就無法適用了。因此，我們引入協同過濾。
collaborative filtering
在協同過濾中，我們需要對x和θ同時優化，其基本演算法為：
其中，這兩步驟交替進行，直至得到合理的θ和x的值。
注：在協同過濾中，我們通常不使用偏置項，如若需要，演算法會自動學得。
協同過濾演算法優化目標
協同過濾演算法
對x(1), ···, x^(nm), θ(1), ···, θ^(nu)隨機賦值小值
使用梯度下降演算法（或者其他高階演算法）最小化代價函式，例如：梯度下降演算法最小化代價函式，其數學表示式為：
在得到合理的引數θ和電影特徵x後，利用θtx**電影評分
上述演算法除了能**某一使用者對某一電影評分，其還能根據使用者的喜好來推薦相關電影。例如，某一使用者愛好**動作類電影x(i)，推薦系統會根據這一特徵推薦相關的電影x(j)，這兩部電影的特徵向量之間的距離為||x(i) - x(j)||。
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