這個問題可能每個學演算法的同學都會遇見，我沒那麼聰明，第一次看見時做不出來，只發現一些規律，後面看到演算法也挺久才看懂，這裡是將別人的演算法結果做乙個解析，例子是暫時網上找的遞迴最簡潔的例子：
下面就以這個例子做乙個解析，這個解法的實際問題就是n個東西圍成乙個圈，從一開始叫到m號的東西出去，求最後剩下的編號。（演算法面試極為常見，就想知道你遞迴學的怎麼樣，就少用模擬法什麼的了）
我們肯定一眼是無法進行乙個通項函式的建立的，m=1的時候是個例外，剩下的是最後乙個，但我們知道前乙個和後乙個是有一定關係的，以前上課的時候老師說這個叫解題思路或者方向。
其中變數有兩個乙個是人數n，乙個是標號數m。所以我們求的問題函式就是f(n,m),而標號數是固定的，每次計數的時候都是這個標號，所以這樣我們的思路就可以建立起來了。
首先是首項f(1,m)=0,也可以直接理解為已經完成結果留下來的就是1號，這裡不影響。
然後是第2項f(2,m),這裡就要看是單數還是雙數了，所以就可以用取餘數計算 2%m,m是雙數留下的就是1，m是單數留下的就是2。
然後是第3項f(3,m),到這裡的時候大家就知道就不光是單雙的關係了比如m=2,留下的是3；m=3,留下的是2；m=4,留下的是2；m=5,留下的是1；m=6,留下的是1，m=7,留下的是3；等等然後再和第2項對應一下，看有什麼規律，如下表：一眼看不出規律吧，沒關係我們看看第三項是如何計算的，這個時候我們我要考慮隊伍重置問題了，還是舉簡單的例子，當n=3，m=2時，第一輪編號都是123，用n除m,這裡餘1，也就是這一行這一圈的計數已經完成了，出局的是2，而這個2和m的關係很明顯，餘數是等於0的，所以這一圈結束了之後我們還有兩個人，還要繼續報數，那後面剩了多少人呢，也就是餘數，1個（3號），所以下一圈的報數就是這樣，3 1，但是他們的編號已經改變了，3變成1號，1變成2號，也就是n=2了，這個時候就回歸到了第2項，這裡m是雙數，留下的就是1號，而1號現在是3，所以f(3,2)就是3了，這裡的遞迴就完成了，後面怎麼加都是一樣的，最終都將回歸到f(2,m)來得到答案，然後下一步知道原理了，就開始建立演算法了，下面表是不是看起來很有規律，當然是有規律的，不過要從這個規律去解題，恐怕是一條不歸路。
m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第2項 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
第3項 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1
這裡就開始演算法的建立了，這個看個人思維了，有人有高效的思維就其實是因為他高效和低效的方法都知道，自然能直接選擇高效的方法，多學習多思考吧。
首先列兩個方程
f(1,m) =0;這裡上面提過了,主要就是求f(n,m)和f(n-1,m)的對應關係了。
最簡單的f(2,m)應該是多少，從上面的演算法知道留下的應該是m%2,那這樣結果就是0或者1，那我們需要返回的是1或者2這個之間數，這個很簡單，加乙個1就行，這個問題一定要考慮到，所以
f(2,m)=m%2+1 。
然後是f(3,m)=(f(2,m)-1+m)%3 + 1 ， 這裡加一減一原因和上面一樣，加m是因為對錶進行重置，是上層表加m做下層表的計算，比如f(2,3) n=2,m=3,m%2+1就是留下來的數其中f(2,3)-1=0，那麼f(3,3) n=3,m=3 就是第一輪1，2，3 ；第二輪1，2，1，2，是不是就是f(2.3)的重複（兩個值交替出現）。那再往下推，f(4.3)第一輪，1，2，3，4；
第二輪；1，2，4，1，2，4這個時候是不是又和上面一樣了，三個值交替出現，第三輪，1，2，1，2換算成公式，r2= m%2, r3=(r2 +m)%3, r4=(r3+m)%4,這個r就是在m定值下取的餘數舉個例子大家就知道了，當m=3時，n=2時，r2=1 ,那n=3的時候我們把這個r2=1加到上面也就是r3=（3+1）%3=1 說明餘了乙個數，那留下來的就是2號，然後我們在返回來推，在n=3時是1，2，3中的餘數是0，留下來的就是1，2繼續餘就是1，留下來的就是2，那這裡最後的餘數是1，而r2+1=2=f(2,3)
那演算法就建立好了我們帶入檢查一下吧， 這個時候就可以對照上面的表了，隨機選兩個值，f(2,3)=2, f(3,3) = (2-1+3)%3 +1 =2,嗯這一組正確；
下一組，f(2,7)= 2, f(3,7) =(2-1+7)%3 +1 =3 ,嗯也正確，
最後一組，f(2,12) =1, f(3,12) = (1-1+12)%3+1 =1 ，ok沒有問題，那說明約瑟夫環的遞迴公式我們已經推導出來了。
然後就是寫入程式，其實有上面的公式再看下面的就很好理解了。
最終該問題的遞迴公式為
f(2,m)=m%2+1
f(3,m)=(f(2,m)-1+m)%3 + 1
f(n,m)=(f(n,m)-1+m)%n + 1
package test;
public class cl
system.out.println(r+1);
} public static void main(string args)
}
約瑟夫環 遞迴演算法
假設下標從0開始，0，1，2 m 1共m個人，從1開始報數，報到k則此人從環出退出，問最後剩下的乙個人的編號是多少？現在假設m 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k 3 第乙個人出列後的序列為 0 1 3 4 5 6 7 8 9 即 3 4 5 6 7 8 9 0 1 我們把該式轉化為 ...
約瑟夫環之遞迴演算法
問題描述 約瑟夫環是乙個數學的應用問題 已知n個人 以編號1，2，3 n分別表示 圍坐在一張圓桌周圍。由第乙個人開始報數，數到m的那個人出列 他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列 依此規律重複下去，直到最後剩下乙個人。一般的思路就是通過乙個count計數的方法，迴圈遍歷鍊錶，逐一刪除。但...
約瑟夫環問題 遞迴推導
題目描述 n個數，編號為 0 1，n 1 排成乙個圓圈，從數字 0 開始，每次從這個圓圈中刪除第 m 個數，請問最後乙個剩下的數是多少？推導過程 定義乙個函式f n,m 為 n 個數中取 m 最後剩下的編號。第乙個被刪除的數是 m 1 n,記為 k 此時因為序列已經不連續，函式可以定義為f n 1,...