函式一致性導數的定義

函式一致性導數的定義

在

袁萌　１０月１６日

大家知道，傳統

「逐點定義

」(pointwise)

的函式導數會導致「病態

」現象，比如，在一點處，函式導數值為正，但是，函式在此點卻不是增函式。那麼，我們該怎麼辦呢？

如果我們採用如下導數定義，問題就解決了。：

假定函式

f在開區間(a，

b)內有定義，如果對每乙個閉子區間

[α, β]

⊂(a, b)

，極限等式

lim（

f [x + ∆x] − f[x]

）/ ∆x = f『 [x]

（注：∆x→0

）在閉子區間

[α,β]

上一致（

uniformly

）成立，那麼，我們就說函式

f'[x[

為函式f

的一致性導數（這是非逐點定義模式）。

在我國普通高校的微積分教學大綱有一致收斂極限的概念（定義），但是，很可惜的是，沒有用到導數的嚴格定義上。我們可以證明，具有一致性導數

f'的函式

f是光滑的（

smoothness

），反之，光滑函式

f及其一致性導數

f'必定是連續的（注意：這不是乙個顯然的結論！證明很長，在此省略。）

對於一致性導數而言，傳統微積分學的「病態

」就消失了。事實上，我們可以證明，一切由數學公式所表達的函式都有

「一致性導數

」。從此，傳統微積分學恢復了健康（對考研而言）。那麼，如何處理（或展開

)這種新型微積分學呢？引入超實數系統

*r是最佳選擇方案（見

k.d.stroyan：」

無窮小微積分的數學基礎

「，有英文

pdf《教育與人生》**不是數學醫生，不想為傳統微積分治病而出名，而只想與

90後大學生交朋友，相互溝通，傳遞現代數學知識，助力國家之復興。俗話說：技不壓人。對於

90後大學生而言，除了學習（ε，

δ）極限論，學點兒現代數學的超實數知識，看清傳統微積分學的

「小毛病

」（病態）是很有益處的。

我不知道我的讀者群是些什麼人，其中有沒有

90後大學生？回到過去，在

1957

年的秋天，我也是和

90後一樣的大學生，神采飛揚，不知疲倦，熱心鑽研數學。很可惜的是，在那個時期世界上只有（ε，

δ）極限論，沒有現代意義上的無窮小理論。

現在，時代不同了，那時期

「趕英超美

」的夢想，在

90後這一代人的手中就要真的實現了。你們是很幸福的一代！與你們為伍（做朋友）並不丟人。

我相信，在我的讀者群中也許有一些數學教員，甚至是中學數學教師。這是我最想結交的朋友，因為，我們都是

「同路人

」。《教育與人生》**即將開通，讓我們在那裡相見！

說明：如果在超實數系

*r裡面展開關於一致性導數的理論，那麼，微積分學將顯得有趣、自然、易懂（特別是對

90後而言）。這就是我們引進超實數的動機。

袁萌2023年10

月10日

強一致性 弱一致性 最終一致性

這種方式在es等分布式系統中也有體現，可以設定主shard提交即返回成功，或者需要replica shard提交成功再返回。提到分布式架構就一定繞不開 一致性 問題，而 一致性 其實又包含了資料一致性和事務一致性兩種情況，本文主要討論資料一致性 事務一致性指acid 複製是導致出現資料一致性問題的唯...

保證一致性嗎 Kafka的一致性保證

魚和熊掌不可兼得。系統設計需要根據具體的應用場景做出權衡。系統設計者可以通過配置kafka，來得到不同程度的需求滿足。每個kafka主題 topic 都分為多個分割槽 partitions 每個分割槽可以具有多個副本 replica 其中乙個副本是主分割槽 leader 所有讀寫請求都由主分割槽提供...

一致性雜湊

直接貼出一篇介紹的很清楚的博文。關鍵字一致性雜湊 平衡性，單調性，分散性，負載 其實說白了，就是解決把請求分散到不同的機器上運算，怎麼做分散的平均，機器少一台多一台，或者壞掉一台，成很好的自適應和拓展。最簡單的實現分布式演算法，取模嘛，但是它就上述的一些問題，所以不算好的雜湊函式。一致性雜湊演算法，...