成績：
題目成績
評價t1
100感動。。總算上了一百分
t210
本來以為能騙到40？？？t30
真的不會做
字串hash：一種從字串到整數的對映
通過這樣的對映，把比較兩字串是否相同轉化為兩整數是否相同
若比較發現兩字串hash值相等，我們認為兩字串很大可能是相同的
另一方面，若 hash 值不等，則兩字串一定不同
比較字串 o(l)，比較整數 o(1)
競賽中常用的 hash 策略
把字串視為乙個 base 進製的大整數，對某個質數 p 取模得到 hash 值
sum_i = (sum_ *base + str_i) mod p
base 可以取 31、131、13131 等，需要滿足 base > |字符集|
p 取 long long 範圍內乙個質數，注意溢位問題
使用 unsigned long long 自然溢位可以視為對 2^64 取模
但是可能被卡（對任意base）
害怕 hash 被卡的同學，也可以選擇雙 hash（常數翻倍
常用技巧
—-給定字串 s，預處理出它的字首 hash 函式；同時計算好 mod p 意義下 base 的冪次表
sum[i] = (sum[i - 1] * base + str[i]) % p
pw[i] = (pw[i - 1] * base) % p
提取一段子串的 hash 值
合併兩個串的 hash 值
o(\log n) 計算兩個子串的 lcp 和字典序大小
又稱字母樹，可以用來維護字串集合
優化思想是，利用字串的公共字首來減少查詢時間，最大限度地減少無意義的比較
這是一顆trie樹。有根樹，每條邊上存有乙個字元，從根到每個葉子的路徑上經過的字元寫下來，對應了乙個字串。
支援的操作有：插入、查詢、刪除。
可以參考：並查集入門by柴犬首相
原理
對每個集合，建立乙個有根樹的結構，令樹的根為整個集合的「代表」，想知道兩個元素是否在同一集合，只需比較它們的代表，合併時，將一棵樹接到另一棵下邊即可。
優化策略
應用
最小生成樹的 kruskal 演算法
tarjan離線lca演算法。
帶權並查集
在一些應用中，可以在每個點上額外維護一些資訊，表示「它與父親」之間的關係，進而嘗試推算集合中任意兩個元素之間的關係。
例題——食物鏈
題目位址luogu食物鏈
只按秩合併
只按秩合併的並查集，可以在合併的時候一定程度上保留元素合併在一起的 「過程」
支援這樣幾種操作的資料結構：
插入乙個優先順序為 key 的元素
詢問優先順序最高的元素
刪除優先順序最高的 / 任意乙個元素
公升高乙個元素的優先順序值
優先佇列一般使用堆來實現
最經典的堆即為大名鼎鼎的二叉堆
二叉堆是乙個完全二叉樹結構，並且它具有堆性質：，每個點的優先順序高於它的兩個孩子（如果有）。可以用乙個數字來儲存二叉堆，避免指標：
1 是根結點，對於 x，它的左右孩子分別是 2x 和 2x+1，容易驗證 n 個點的二叉堆，它用到的陣列即為 1 ~ n，給定乙個大小為 n 的陣列，我們可以 o(n) 的建堆。
調整
隨著操作的進行，二叉堆的「堆性質」可能會遭到破壞，為此我們定義兩種調整操作，來維護二叉堆的堆性質保持不變
向上調整：
當乙個點的優先順序公升高時，我們需要向上調整
比較它和它的父親的優先順序，它的優先順序高就與父親交換位置並遞迴進行
向下調整：
當乙個點的優先順序降低時，我們需要向下調整
比較它和它左右兒子中優先順序較高的那個，它的優先順序低就與兒子交換並遞迴下去
容易驗證兩種操作的複雜度均為 o(\log n)
操作
插入：插入乙個葉子，然後向上調整
詢問：返回 a[1]
刪除根：令 a[1] = a[n]，然後向下調整
左偏樹
也是一種優秀的堆，並且是支援合併的（可並堆），比較簡單，容易實現。但是我們不講。
應用
- dijkstra 演算法和 prim 演算法的優化
- 哈夫曼編碼
- 一些奇怪的應用
可以參考：線段樹入門by柴犬首相
線段樹是一種二叉搜尋樹，一般可以用來維護序列的子區間
結構
對乙個長度為 n 的序列建線段樹，根結點即表示 [1, n]
對於乙個表示 [l, r] 的節點：，若 l = r，則它是葉子。否則，令 m = (l + r) / 2，它有左右兩個孩子，分別記為：[l, m] 和 [m + 1, r]，不難驗證，這樣乙個線段樹中有 2n - 1 個節點，並且樹的深度是 o(\log n) 級別。
原理
線段樹的優化思想：
根據問題的要求，用每個節點維護它對應的子區間中、可以高效合併的相關資訊，在動態的序列問題中，對於修改操作沒有動過的部分。我們可以考慮把這些地方的求解的結果儲存並復用，從而達到優化程式效率、降低複雜度的目的。
一種支援單點修改和查詢字首和的資料結構，複雜度為 o(\log n)，但是常數很小。
原理：
定義 lowbit(x)，表示將 x 寫成二進位制後，只保留二進位制下最低乙個 1 對應的整數
例：lowbit(1001100) = 100, lowbit(1000) = 1000
十進位制：lowbit(76)=4, lowbit(8) = 8
對乙個陣列 a，我們構造陣列 c，其中
c[i] = sum (. a[i - lowbit(i) + 1 … i] )
巧妙的事情來了：
我們查詢 a 的字首和只需要訪問 c 中 log n 個節點
修改 a 中任意乙個元素的值，只需要同時修改 c 中的 log n 個節點
於是可以在 o(\log n) 的時間內支援單點修改、字首和查詢
複雜度均為 o(\log n)
優點：
樹狀陣列常數小、跑得快；線段樹常數較大，跑得稍慢
樹狀陣列相比線段樹好實現
樹狀陣列可以比較簡單地推廣到二維
不足：
樹狀陣列的功能是線段樹的子集
對二維陣列 a，維護 c 表示
c[i][j] = sum( a [ i-lowbit(i)+1 … i] [ j-lowbit(j)+1 … j] )
可以支援二維陣列的單點修改、查詢字首矩形的和
複雜度 o(\log^2 n)
想支援對陣列 a 的區間加整數、區間查詢和，考慮 a 的差分陣列 b[i] = a[i] - a[i - 1]，區間加對 b 只修改兩個位置！同時，為了支援查詢 a 的字首和，經過一番推導，發現只需維護 b[i] 和 i * b[i] 的字首和即可，複雜度 o(\log n)
今天講了資料結構，但是呂欣大佬晚上趕車回家過中秋節，。。我們樹狀陣列實在是沒有怎麼講，要再看。
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