問題：兩條平行線可以相交於一點
在歐氏幾何空間，同一平面的兩條平行線不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。
然而，在透視空間裡面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨著我們的視線越來越窄，最後兩條平行線在無窮遠處交於一點。
歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2d/3d幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的乙個子集合），2維笛卡爾座標可以表示為（x,y）。
如果乙個點在無窮遠處，這個點的座標將會(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能，數學家發現了一種方式來解決這個問題。
方法：齊次座標
簡而言之，齊次座標就是用n+1維來代表n維座標
我們可以在乙個2d笛卡爾座標末尾加上乙個額外的變數w來形成2d齊次座標，因此，乙個點(x,y)在齊次座標裡面變成了（x,y,w），並且有
x = x/w
y = y/w
例如，笛卡爾座標系下（1，2）的齊次座標可以表示為（1，2，1），如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾座標下它變為(∞,∞)，然後它的齊次座標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不用」∞"來表示乙個無窮遠處的點了，哈哈。
為什麼叫齊次座標？
我們把齊次座標轉化為笛卡爾座標的方法是前面n-1個座標分量分別除以最後乙個分量即可。
轉化齊次座標到笛卡爾座標的過程中，我們有乙個發現，例如：
你會發現(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應同乙個euclidean point (1/3, 2/3)，任何標量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對應 笛卡爾空間裡面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點是「齊次的」，因為他們代表了笛卡爾座標系裡面的同乙個點。換句話說，齊次座標有規模不變性。
證明：兩條直線可以相交
考慮如下方程組：
我們知道在笛卡爾座標系裡面，該方程組無解，因為c ≠ d,如果c=d,兩條直線就相同了。
讓我們在透視空間裡面，用齊次座標x/w, y/w代替x ,y,
現在我們有乙個解(x, y, 0)，兩條直線相交於(x, y, 0)，這個點在無窮遠處。
小結：齊次座標在圖形學中是乙個非常基礎的概念，例如3d場景對映到2d場景的過程中
參考：
攝像機標定學習筆記（10）關於畸變矯正
成像的過程實質上是幾個座標系的轉換。首先空間中的一點由 世界座標系 轉換到 攝像機座標系 然後再將其投影到成像平面 影象物理座標系 最後再將成像平面上的資料轉換到影象平面 影象畫素座標系 詳細的可以參考我之前的部落格 影象 攝像機標定 1 標定中的四個座標系 影象畫素座標系 uov座標系 下的無畸變...
機器視覺學習筆記（4） 單目攝像機標定引數說明
標籤 機器視覺 設某點在座標系中的座標為pw xw yw,zw,t 該點在座標系中的座標為pc xc yc,zc,t 則有 p c r 0t1 pw 1 其中r是正交旋轉矩陣 r r 11r21r 31r12r 22r32r 13r23r 33 2 t是平移矩陣 t txt ytz t 3 確定r需...
攝像機標定學習筆記（6） 關於張正友平面標定方法
2 張正友教授標定方法 第一步 求解單應性矩陣h 第二步 求解內引數矩陣k 第三步 求解外引數矩陣 第四步 求解畸變係數 第五步 優化求精 2.1 求解單應性矩陣h 其中，k為攝像機內引數，h為單應性矩陣 這裡假設模板平面位於世界座標系 z 0 的平面。u,v,1 為對應的模板平面上的點投影到影象上...