同餘關係：
同餘：如果a和b除以c的餘數相同，就說a和b關於模c同餘，記作a≡b(mod c)。
如果兩個數a和b的差能夠被m整除，那麼就說a和b對模數m同餘（關於m同餘）。
比如，28-13=15除以5正好除盡，我們就說28和13對於模數5同於，因為15是5的整
數倍。它的另外一層含義就是說：28和13除以5的餘數相同。a和b對m同餘，我們記
作a≡b(mod m)。比如，28與13對5同餘可以寫作28≡13(mod 5)。
同餘關係是一種等價關係。
1.自反性：乙個數永遠和自己本身同餘
2.對稱性：a和b同餘，b和a也就同餘
3.傳遞性：a和b同餘，b和c也同餘，可以推出a和c也是同餘的
同餘運算中還有一些稍微複雜的性質。比如，同於運算和整數加減法一樣滿足「等量+等
量，其和不變」。
性質1.
如果a≡b(mod m),x
≡y(mod m)，則有a+x≡b+y(mod m)。
證明：對於a
≡b(mod m)，總可以找到p,q，使得 a-mp=b-mq //等式1
同理對於x
≡y(mod m)，總可以找到r,s，使得x-mr=y-mq//等式2
等式1+等式2，有(a+x)-m(p+r)=(b+y)-m(q+s) //可以看出餘數相等
則有 (a+x)≡(b+y)(mod m) //得證
同樣的方法可以證明另外一條性質
性質2：
如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，則有ax≡by(mod m)。
證明：依舊先得到等式1與等式2，等式1*等式2，得到：
(a-mp)(x-mr)=(b-mq)(y-ms)
化簡，得 ax+m(mpr-ar-xp)=by+m(mqs-bs-yq) 即有
ax≡by(mod m) //得證
性質3：
如果ac
≡bc(mod m),且c和m互質，則有a≡b(mod m)(就是說同余式兩邊可
以同時除以乙個和模數互質的數)。
證明：對於ac≡bc(mod m)，我們總可以找到p,q使得
ac-mp=bc-mq
移項有ac-bc=mp-mq
即有 c(a-b)=m(p-q)
這說明c(a-b)/m=(p-q) c(a-b)可以被m整除
又因為 c與m互質 所以(a-b)可以被m整除
得到a≡b(mod m)
性質4：若ac
≡bd,c
≡d(mod m)，且(c,m)=1(c和m的最大公約數是1),得到a≡b(mod m)。
證明：因為(c,m)=1,且c≡d(mod m)所以(d.m)=1
因為c≡d(mod m)所以總可以找到p,q，使得c-mp=d-mq
兩邊同乘a，有ca-mpa=da-mqa
因為ac≡bd所以有 ba-mpa=da-mqa
所以有 bd≡da(mod m)
又因為(d.m)=1所以有b≡a(mod m)。
除此之外還有其他的同餘性質關係等式...
在acm做題目的過程中經常會遇到mod ******x... ，這是因為為了避免高精度的運
算。因為我們可以看得出在運算過程中算完再mod還是一遍算一邊mod，最後得到的結
果是一樣的，就是因為同餘 的關係。因為同餘關係只是關心餘數，不用去在乎除的時候
整數的部分。所以，在整個運算過程中每一步最大都不會超過m，從而避免了高精度的
運算。
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