函式的序偶定義

函式的序偶定義

當今，在大一的微積分教科書裡，面，函式的定義，稀里糊塗，誤人子弟。

2023年6

月29日，老翁發表博文，題為「無窮小與函式的序偶定義」，現在重新發表，請讀者參考。袁萌9

月21日附：無窮小與函式的序偶定義

全文如下：

進入中文網際網路搜尋「無窮小與函式」關鍵字，你會發現，這兩個基本數學概念被**糟蹋得不成樣子，嚴重干擾了大學新生上網學習的興趣。這種狀況必須得到改變。

看問題要有歷史觀點，不能抓住乙個「時間點」胡亂發揮。上世紀中葉，數理邏輯模型論利用「超乘積」技術給萊布尼茲所建立的微積分學（

calculus

）乙個歷史性的辯護，使其重新獲得新生。這是數學的一大進步。

簡而言之，模型論所創立的這種新型的數系，即「超實數系」*r（

hyperreals

）。在這種「超實數系」

*r是乙個抽象集合（

set），其中的元素都是「平等的」，也就是說，都是本質相同的超實數。超實數系

*r遠比傳統實數繫結構豐富、複雜。但是，十分巧合的是，在

*r中有個相對很小的子集合

r與傳統實數系「保序同構」。在

*r中，存在一種大於零而小於

r中的一切」正數「的超實數。由於

r與傳統實數「保序同構」，由此，人們稱這類超實數為「無窮小」

(infinitesimal)

，符合我們的直觀感覺，這是順理成章的事情。在傳統實數系中，談論無窮小是無稽之談，胡說八道。

函式是什麼？如果函式是一種對應關係、對映關係，那麼，什麼是「對應」？，什麼是「對映」？又是一筆糊塗賬，說不清，道不明。

1939

年，法國布林巴基學派將函式定義為「序偶集合」（

setof orderedpairs)

，正好順應了引入超實數

*r的歷史發展潮流，把傳統函式定義中的「對應」、」對映「含糊說辭統統避開了。

在j.keisler

的《基礎微積分》第一章第

1.1節中，明確無誤地將函式定義為」序偶集合「，乾淨利落，概念清晰，特別有利於大學新生的掌握、理解。為此，我閱們要引發乙個學習現代無窮小微積分的群眾熱潮，拋開舊傳統，迎接新潮流。現在，堅定主張現代無窮小的人雖然是極少數，但是，只要我們把數學真理」原汁原味地「上傳到網際網路上，理解的人們就會自然地跟上來了。所以，負責人工轉錄的文員薛

lily

以及負責語義校對的張

xiaofeng

女士，她們兩人的工作都很有意義。只要我們做到了這一點（上傳成功），數學真理的傳播是不可阻擋的。（全文完）

袁萌2023年6

月29日

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