f(n) = o(g(n))：∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≤cg(n)∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≤cg(n) ；f的階不高於g的階。
f(n) = ω(g(n))：∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≥cg(n)∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≥cg(n) ；f的階不低於g的階。
f(n) = θ(g(n))：⟺f(n)=o(g(n))&&f(n)=ω(g(n))⟺f(n)=o(g(n))&&f(n)=ω(g(n)) ；f的階等於g的階。
f(n) = o(g(n))：∀ε>0,∃n0∈n,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε∀ε>0,∃n0∈n,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε ；f的階低於g的階。
可見，記號o給出了函式f(n)在漸進意義下的上界（但不一定是最小的），相反，記號ω給出的是下界（不一定是最大的）。如果上界與下界相同，表示f(n)和g(n)在漸進意義下是同階的（θ），亦即複雜度一樣。
t（n）=at(n/b)+f(n)型方程; a>=1;b>0常數；f(n)正整數；比較f（n）和n的log以b為底a的對數次冪大小；
若f(n)小，t（n）=n的log以b為底a的對數次冪;
若f(n)大，t（n）=f(n);
若相等;t(n)=n的log以b為底a的對數次冪乘以log以2為底n的對數。
（2）平時設計或者閱讀乙個演算法的時候，必然會提到演算法的複雜度（包括時間複雜度和空間複雜度）。比如我們說乙個二分查詢演算法的平均時間複雜度為o(log n)，快速排序可能是o(n log n)。那這裡的o是什麼意思？這樣的表達是否準確呢？
先插一句，在演算法複雜度分析中，log通常表示以2為底的對數。
演算法複雜度（演算法複雜性）是用來衡量演算法執行所需要的計算機資源（時間、空間）的量。通常我們利用漸進性態來描述演算法的複雜度。
用n表示問題的規模，t(n)表示某個給定演算法的複雜度。所謂漸進性態就是令n→∞時，t(n)中增長最快的那部分。嚴格的定義是：如果存在t˜(n)t~(n) ，當n→∞時，有
t(n)−t˜(n)t(n)→0t(n)−t~(n)t(n)→0
就說t˜(n)t~(n) 是t(n)當n→∞時的漸進性態。
比如t(n) = 2 * n ^ 2 + n log n + 3，那麼顯然它的漸進性態是 2 * n ^ 2，因為當n→∞時，後兩項的增長速度要慢的多，可以忽略掉。引入漸進性態是為了簡化演算法複雜度的表示式，只考慮其中的主要因素。當比較兩個演算法複雜度的時候，如果他們的漸進複雜度的階不相同，那只需要比較彼此的階（忽略常數係數）就可以了。
總之，分析演算法複雜度的時候，並不用嚴格演算出乙個具體的公式，而是只需要分析當問題規模充分大的時候，複雜度在漸進意義下的階。記號o、ω、θ和o可以幫助我們了解函式漸高階的大小。
假設有兩個函式f(n)和g(n)，都是定義在正整數集上的正函式。上述四個記號的含義分別是：
f(n) = o(g(n))：∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≤cg(n)∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≤cg(n) ；f的階不高於g的階。
f(n) = ω(g(n))：∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≥cg(n)∃c>0,n0∈n,∀n≥n0,f(n)≥cg(n) ；f的階不低於g的階。
f(n) = θ(g(n))：⟺f(n)=o(g(n))&&f(n)=ω(g(n))⟺f(n)=o(g(n))&&f(n)=ω(g(n)) ；f的階等於g的階。
f(n) = o(g(n))：∀ε>0,∃n0∈n,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε∀ε>0,∃n0∈n,∀n≥n0,f(n)/g(n)<ε ；f的階低於g的階。
可見，記號o給出了函式f(n)在漸進意義下的上界（但不一定是最小的），相反，記號ω給出的是下界（不一定是最大的）。如果上界與下界相同，表示f(n)和g(n)在漸進意義下是同階的（θ），亦即複雜度一樣。
列舉一些常見的函式之間的漸高階的關係：
logn!=θ(nlogn)logn!=θ(nlogn)
logn2=θ(logn)logn2=θ(logn)
logn2=o(n−−√)logn2=o(n)
n=ω(log2n)n=ω(log2n)
log2n=ω(logn)log2n=ω(logn)
2n=ω(n2)2n=ω(n2)
2n=o(3n)2n=o(3n)
n!=o(nn)n!=o(nn)
2n=o(n!)2n=o(n!)
有些人可能會把這幾個記號跟演算法的最壞、最好、平均情況複雜度混淆，它們有區別，也有一定的聯絡。
即使問題的規模相同，隨著輸入資料本身屬性的不同，演算法的處理時間也可能會不同。於是就有了最壞情況、最好情況和平均情況下演算法複雜度的區別。它們從不同的角度反映了演算法的效率，各有用處，也各有侷限。
有時候也可以利用最壞情況、最好情況下演算法複雜度來粗略地估計演算法的效能。比如某個演算法在最壞情況下時間複雜度為θ(n ^ 2)，最好情況下為θ(n)，那這個演算法的複雜度一定是o(n ^ 2)、ω(n)的。也就是說n ^ 2是該演算法複雜度的上界，n是其下界。
接下來看看master定理。
有些演算法在處理乙個較大規模的問題時，往往會把問題拆分成幾個子問題，對其中的乙個或多個問題遞迴地處理，並在分治之前或之後進行一些預處理、彙總處理。這時候我們可以得到關於這個演算法複雜度的乙個遞推方程，求解此方程便能得到演算法的複雜度。其中很常見的一種遞推方程就是這樣的：
設常數a >= 1，b > 1，f(n)為函式，t(n)為非負整數，t(n) = a t(n / b) + f(n)，則有：
若f(n)=o(nlogba−ε),ε>0f(n)=o(nlogba−ε),ε>0 ，那麼t(n)=θ(nlogba)t(n)=θ(nlogba) 。
若f(n)=θ(nlogba)f(n)=θ(nlogba) ，那麼t(n)=θ(nlogbalogn)t(n)=θ(nlogbalogn) 。
若f(n)=ω(nlogba+ε),ε>0f(n)=ω(nlogba+ε),ε>0 ，並且對於某個常數c < 1和充分大的n有af(n/b)≤cf(n)af(n/b)≤cf(n) ，那麼t(n)=θ(f(n))t(n)=θ(f(n)) 。
比如常見的二分查詢演算法，時間複雜度的遞推方程為t(n) = t(n / 2) + θ(1)，顯然有nlogba=n0=θ(1)nlogba=n0=θ(1) ，滿足master定理第二條，可以得到其時間複雜度為t(n) = θ(log n)。
再看乙個例子，t(n) = 9 t(n / 3) + n，可知nlogba=n2nlogba=n2 ，令ε取1，顯然滿足master定理第一條，可以得到t(n) = θ(n ^ 2)。
來乙個稍微複雜一點兒例子，t(n) = 3 t(n / 4) + n log n。nlogba=o(n0.793)nlogba=o(n0.793) ，取ε = 0.2，顯然當c = 3 / 4時，對於充分大的n可以滿足a * f(n / b) = 3 * (n / 4) * log(n / 4) <= (3 / 4) * n * log n = c * f(n)，符合master定理第三條，因此求得t(n) = θ(n log n)。
運用master定理的時候，有一點一定要特別注意，就是第一條和第三條中的ε必須大於零。如果無法找到大於零的ε，就不能使用這兩條規則。
舉個例子，t(n) = 2 t(n / 2) + n log n。可知nlogba=n1nlogba=n1 ，而f(n) = n log n，顯然不滿足master定理第二條。但對於第一條和第三條，也無法找到大於零的ε使得nlogn=o(n1−ε)nlogn=o(n1−ε)或者nlogn=ω(n1+ε)nlogn=ω(n1+ε) ，因此不能用master定理求解，只能尋求別的方式求解。比如可以利用遞迴樹求出該演算法的複雜度為t(n)=o(nlog2n)t(n)=o(nlog2n) 。簡單的說一下計算過程：
遞迴樹的建立過程，就像是模擬演算法的遞推過程。樹根對應的是輸入的規模為n的問題，在遞迴處理子問題之外，還需要n log n的處理時間。然後根據遞推公式給根節點新增子節點，每個子節點對應乙個子問題。這裡需要兩個子節點，每個節點處理規模為n / 2的問題，分別需要(n / 2) * log(n / 2)的時間。因此在第二層一共需要n * (log n - 1)的時間。第三層節點就是將第二層的兩個節點繼續**開，得到四個各需要(n / 4) * log(n / 4)時間的節點，總的時間消耗為n * (log n - 2)。依此類推，第k（設樹根為k = 0）層有2 ^ k的節點，總的時間為n * (log n - k)。而且可以知道，這棵樹總共有log n層（最後一層每個節點只處理規模為1的子問題，無須再分治）。最後將每一層消耗的時間累加起來，得到：
∑k=0lognn(logn−k)=12nlogn(logn+1)=o(nlog2n)
摘自這個**；
演算法時間複雜度 分治與遞迴
演算法時間複雜度之分治與遞迴 演算法是解決問題的辦法或法則，而 速度 就是演算法之魂，在計算機中所謂的 速度 就是 時間 空間。在大家初期的演算法學習中，往往感覺演算法這東西摸不著頭腦，會感覺 它為什麼會這麼用，這種用法究竟有什麼不同，我自己的解法就不好嗎？所以要想解決這種困惑，要想真正的理解演算法...
遞迴演算法時間複雜度分析
一般情況下，演算法中基本操作重複的次數就是問題規模n的某個函式f n 進而分析f n 隨n的變化情況並確定t n 的數量級。這裡用 o 來表示數量級，給出演算法時間複雜度。t n o f n 它表示隨問題規模n的增大，演算法的執行時間增長率和f n 增長率成正比，這稱作演算法的漸進時間複雜度。而我們...
遞迴演算法的時間複雜度分析
在演算法分析中，當乙個演算法中包含遞迴呼叫時，其時間複雜度的分析會轉化為乙個遞迴方程求解。實際上，這個問題是數學上求解漸近階的問題，而遞迴方程的形式多種多樣，其求解方法也是不一而足，比較常用的有以下四種方法 1 代入法 substitution method 代入法的基本步驟是先推測遞迴方程的顯式解...