每天一道演算法題最長公共子串行和最長公共子串

最近刷題遇到很多與最長公共子串行或者子串有關的題，這裡回顧一下兩者的求解過程以及怎麼輸出列印。

最長公共子串（longest common substring）與最長公共子串行（longest common subsequence）的區別：子串要求在原字串中是連續的，而子串行則只需保持相對順序，並不要求連續。

問題描述：

給定兩個序列：x[1…m]和y[1…n]，求在兩個序列中同時出現的最長子序列的長度。

假設 x 和 y 的序列如下：

str1: "abcbdab" str2: "bdcaba"

經典的解法是使用動態規劃來解：

假設z=z1,z2,⋯,zk>是x與y的lcs，我們觀察到

如果xm=yn，則zk=xm=yn，有zk−1是xm−1與yn−1的lcs；

如果xm≠yn，則zk是xm與yn−1的lcs，或者是xm−1與yn的lcs。

因此，求解lcs的問題則變成遞迴求解的兩個子問題。但是，上述的遞迴求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用陣列儲存中間狀態，方便後面的計算。這就是動態規劃（dp)的核心思想了。

狀態轉移方程式如下：

其實用矩陣圖來表示會更加清楚：

矩陣的最後的值就是最長公共子串行的長度，而在列印所有的最長公共子串行時，也是沿著最後乙個點向上溯源找，如果str1.charat(i) == str2.charat(j)，記錄這個序列點，然後向斜對角線方向繼續尋找。而當table[i-1][j] > table[i][j-1]（這裡的table指上面的二維陣列），向左邊方向繼續尋找序列點；當table[i-1][j] < table[i][j-1]，向上方向尋找序列點。而當存在table[i-1][j]==table[i][j-1]時，說明存在不同的最長公共子串行，則進一步遞迴尋找。

public
class
longestcommonsubsequence   
/** 
* 功能：求兩個數中的較大者 
*/private
intmax(int a, int b)   
/** 
* 功能：構造表，並返回x和y的lcs的長度 
*/private
intlcs(int m, int n)   
}  return table[m][n];  
}  /** 
* 功能：回溯，求出所有的最長公共子串行，並放入set中 
*/private
void
traceback(int i, int j, string lcs_str)   
else   
}  }  
set.add(reverse(lcs_str));  
}  /** 
* 功能：字串逆序 
*/private string reverse(string str)   
/** 
* 功能：外部介面 —— 列印輸出 
*/public
void
printlcs()   
}  /** 
* 功能：main方法 —— 程式的入口 
*/public
static
void
main(string args)   
}

而最長公共子串則強調連續的條件，因此其狀態轉移方程式為：

最長公共子串在二維陣列中則表現為連續的對角線數值不為0。其中數值最大則為最長公共子串的長度。而在輸出列印所有最長公共子串時，可以遍歷尋找數值為最長公共子串的長度，之後沿著對角線遍歷尋找最長公共子串。

public
class
longestcommonsubstring   
/** 
* 功能：構造表，並返回x和y的lcs的長度 
*/private
intlcs(int m, int n) else
if(x.charat(i-1)==y.charat(j-1))else}}
traceback(table, m, n, result);
return result;  
}  /** 
* 功能：(用乙個比較笨的方法，遍歷array，找出result所在的位置，對角線遍歷最長公共字串) 
*/private
void
traceback(int lcsarray,int i, int j,int result) 
--i;
--j;
}   
}  public
void
printlcs(int lcsarray,int i,int j)
system.out.println(reverse(str));
}/** 
* 功能：字串逆序 
*/private string reverse(string str)   
/** 
* 功能：main方法 —— 程式的入口 
*/public
static
void
main(string args)   
}

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