洛谷3746 六省聯考2017 組合數問題

組合數 cnmc_n^mc

表示的是從 n 個互不相同的物品中選出 m 個物品的方案數。舉個例子，從 (1;2;3) 三個物品中選擇兩個物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 這三種選擇方法。根據組合數的定義，我們可以給出計算組合數 cnmc_n^mc

的一般公式：

cnm=n!m!(n−m)!c_n^m = \fracc

!(n−

m)!

其中 n! = 1 × 2 × · · · × n。（特別的，當 n = 0 時， n! = 1 ，當 m > n 時， cnm=0c_n^m =0c

=0）

小蔥在 noip 的時候學習了 cijc_i^jc

和 k 的倍數關係，現在他想更進一步，研究更多關於組合數的性質。小蔥發現， cijc_i^jc

是否是 k 的倍數，取決於 cijmodkc_i^j mod k c

mod

k是否等於 0，這個神奇的性質引發了小蔥對 mod 運算（取餘數）的興趣。現在小蔥選擇了是四個整數n; p; k; r，小蔥現在希望知道

∑i=0infcnkik+rmodp\sum_^ c_^ mod p∑

i=0

infc

ik+r

dp的值。輸入格式：

第一行有四個整數 n; p; k;r，所有整數含義見問題描述。

輸出格式：

一行乙個整數代表答案。

輸入樣例#1：

2 10007 2 0

輸出樣例#1：

輸入樣例#2：

20 10007 20 0

輸出樣例#2：

• 對於 30% 的測試點， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是質數；

• 對於另外 5% 的測試點， p = 2；

• 對於另外 5% 的測試點， k = 1；

• 對於另外 10% 的測試點， k = 2；

• 對於另外 15% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是質數；

• 對於另外 15% 的測試點， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是質數；

• 對於另外 10% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是質數；

• 對於 100% 的測試點， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

題解

一道矩陣加速的題。

對組合數的乙個變形。原組合數公式是f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]。由於這題是i*k+r，所以設f[i][j]表示i個物品中選x個物品，x滿足x%k=j，所以f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][(j-1+k)%k]。為什麼呢？？由原組合數公式可知，f[i][a*k+j]=f[i-1][a*k+j]+f[i-1][a*k+j-1]。所以sigmaf[i][a*k+j]=sigmaf[i-1][a*k+j]+sigmaf[i-1][a*k+j]。。因為設g[i][j]=sigma(a從0~乙個值)f[a*k+j]；（這裡g[i][j]含義同上面f[i][j]）。由於j-1會出現負的，也就是當j=0時，表示整除，由楊輝三角可知，前乙個是k-1,所以f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][(j-1+k)%k]。

遞推式證完了，下面該說怎麼推矩陣了。

像這種二維的遞推，第一行矩陣一般把第二維都寫出來再根據下乙個推矩陣。就是由f[i][0],f[i][1],f[i][2].....f[i][k-1]看怎樣推成f[i+1][0],f[i+1][1],f[i+1][2]......f[i+1][k-1],自己手推一下矩陣吧。最後結果就是f[0][r].因為第一行是f[i][0],f[i][1]....

下面就是矩陣加速了。。。不再贅述。

#include#include#include#include#define ll long long

using namespace std;

const int maxn=60;

ll n,p,k,r;

struct nodea,b,c,ans;

node work(node a,node b)

}int main(){

cin>>n>>p>>k>>r;

for(int i=0;i

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