容量網路:
設g(v,e),是乙個有向網路,在v中指定了乙個頂點,稱為源點(記為vs),以及另乙個頂點,稱為匯點(記為vt);對於每一條弧
弧的流量:
通過容量網路g中每條弧
網路流:
所有弧上流量的集合f=,稱為該容量網路的乙個網路流.
可行流:
在容量網路g中滿足以下條件的網路流f,稱為可行流.
a： 弧流量限制條件: 0<=f(u,v)<=c(u,v);
b： 平衡條件:即流入乙個點的流量要等於流出這個點的流量,(源點和匯點除外).
最大流:
在容量網路中,滿足弧流量限制條件,且滿足平衡條件並且具有最大流量的可行流,稱為網路最大流,簡稱最大流.
弧的型別:
a. 飽和弧: 即f(u,v)=c(u,v);
b. 非飽和弧: 即f(u,v)
增廣路:
設f是乙個容量網路g中的乙個可行流,p是從vs到vt 的一條鏈,若p滿足以下條件:
a. p中所有前向弧都是非飽和弧,
b. p中所有後向弧都是非零弧.
則稱p為關於可行流f 的一條增廣路。沿這增廣路改進可行流的操作稱為增廣.
殘留容量:
給定容量網路g(v,e),及可行流f, 弧 (u,v)上的殘留容量記為cl(u,v)=c(u,v)-f(u,v).每條弧上的殘留容量表示這條弧上可以增加的流量.因為從頂點u到頂點v的流量減少,等效與從頂點v到頂點u的流量增加,所以每條弧(u,v)上還有乙個反方向的殘留容量l(v,u)=-f(u,v)。
殘留網路:
設有容量網路g(v,e)及其上的網路流f,g關於f的殘留網路記為g(v』,e』).其中g』的頂點集v』和g中頂點集g相同,v』=v.對於g中任何一條弧(u,v),如果f(u,v) < c(u,v),那麼在g』中有一條弧(u,v)屬於e』,其容量為c』(u,v)=c(u,v)-f(u,v),如果f(u,v)>0,則在g』中有一條弧(v,u)屬於e』,其容量為c』(v,u)=f(u,v).殘留網路也稱為剩餘網路。
層次圖：
假設在殘量網路中，起點到結點u的距離為dist(u)，我們把dist(u)看做結點u的層次，只保留每個點出發到下乙個層次的弧，得到的圖就叫層次圖。
割：將所有頂點v分成兩個集合， s 和 t = v-s， 其中源點s在集合s中，匯點在集合t中，將所有起點在s，終點在t的邊的權值加起來（注意t到s的不算），就是乙個s-t割。
最大流==最小割
最大流演算法：
dinic演算法： 時間複雜度 o(點數^0.5 * 邊數) < otime < o（點數^2 * 邊數）
1. 在殘量網路上根據bfs建立層次圖
2. 在層次圖上使用dfs進行增廣
3. 重複2直至不存在增廣路
4. 重複123直至殘量網路上無法從源點留至匯點
isap演算法: gap+優化後，實際時間複雜度要小於dinic
最小費用最大流：
設每條邊除了有乙個容量外，還有乙個費用，即問總流量最大的前提下，總費用最小的流。 演算法過程：
1. 在殘量網路上利用spfa找到cost和最小的路徑
2. 增廣cost和最小的路徑
3. 重複12直至殘量網路上無法從源點留至匯點
網路流入門
網路流的最經典應用就是最大流.給定乙個圖.給出每條邊能流過的最大流量.求源點到匯點的最大流量.求解網路流的基本思想就是每次尋找增廣路 就是源點到匯點的一條可行路 然後ans 增廣路能流過的流量.更新剩餘網路.然後再做增廣路.直到做不出增廣路.關於網路流入門最難理解的地方就是剩餘網路了.為什麼在找到一...
網路流入門
通常可以把這些邊想象成道路，流量就是這條道路的車流量，容量就是道路可承受的最大的車流量。很顯然的，流量 容量。而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以模擬的想象成沒有儲存功能的貨物的中轉站，所有 進入 他們的流量和等於所有從他本身 出去 的流量。求解思路 首先，假如所有邊上的流量都沒有超過容量 不大於...
網路最大流入門
網路最大流是網路流中最基礎也是最重要的部分，後邊的許多模型也都是由最大流問題引申而來的 在研究這個問題之前，讓我們先來學習一下前置知識 設 f u,v 表示邊 u,v 的當前容量上限 設 c u,v 表示邊 u,v 的最大容量上限 如果網路流圖中的流量滿足 則稱該流為乙個可行流 增廣 即增加一條路徑...