貝葉斯思維（例項2）估計

鐵路上以1到n命名火車頭。有一天你看到乙個標號60的火車頭，請估計鐵路上有多少火車頭？

應用貝葉斯進行推理，可以將這個問題分成兩步：

1. 在得到資料之前，我們對n的認識是什麼？

2. 已知乙個n的任意值後，得到資料（「標誌為60號的火車頭」）的似然度？

第乙個問題的答案就是問題的前置概率，第二個問題是似然度。

在選擇前置概率上，我們還沒有太多的基本資訊，先假設n可以是從1到1000等概率的任何值。

hypos =xrange(1, 1001)

接著需要的是似然函式。先假設存在乙個有n個火車頭的車隊，我們看到60號火車頭的概率是多少？假設只有乙個列車運營公司，看到任乙個火車頭有同等可能，那麼看到任何特定火車頭的機會為1/n。似然度函式如下：

import logging
#定義字典物件
class
(object):
#具體**見《貝葉斯思維（例項1）》
definitsequence
(self, values):
for value in values:
self.set(value, 1)
def__len__
(self):
return len(self.d)
#概率質量函式物件
class
pmf#具體**見《貝葉斯思維（例項1）》
defprobability
(o):
return o / (o + 1)
class
suite
(pmf):
defupdate
(self, data):
for hypo in self.values():
like = self.likelihood(data, hypo)
self.mult(hypo, like)
return self.normalize()
class
train
(suite):
deflikelihood
(self, data, hypo):
if hyporeturn
0else:
return
1.0/hypo

update如下：

suite =train(hypos)
suite.update(60)

結果為0.003。

如果非要猜，最優可能的值是60。不過，這不是我們的目標。另乙個可選的方法是計算後驗概率的平均分布：

def
mean
(suite):
total  = 0
for hypo, prob in suite.items():
total += hypo*prob
return total
print mean(suite)

後驗的平均值是333，所以如果想最大限度地減少錯誤，這也許是個好的猜測結果。

為了進一步解決火車頭問題，我們必須進行一些假設。

但僅僅依賴一次觀察的小量資料，情況可能如此敏感。回憶一下，從1到1000的均勻分布的先驗概率，後驗概率的平均值是333。同樣上界為500，得到的後驗平均值為207，乙個2000的上界後驗平均值為552。

for
data in[60, 30, 90]:
suite.update (data)

取樣這些資料時，後驗概率的均值時：

上限後驗均值

500152

1000

1642000

171

這樣差異就較小了。

如果沒有更多的資料，另乙個方法是通過收集背景資料優化先驗。

即使沒有深入了解鐵路產業的一些具體情況，我們也可以猜測，在大多數領域，有大量小公司，一些中型公司，乙個到兩個非常大型的公司。事實上，公司規模的分布往往遵循冪律。這規律表明，如果少於10個火車頭的公司有1000家，100個火車頭的公司可能有100家，1000個火車頭的公司有10家，10000個火車頭的公司可能僅有1家。

在數學上，冪律表示公司的數量與公司規模成反比，或pm

f(x)

∝(1x

)α其中pmf(x)是x的概率質量函式，α是乙個通常接近於1的引數。

我們可以構造乙個服從冪律分布的先驗如下：

class
dice
(suite):
deflikelihood
(self, data, hypo):
if hypo < data:
return
0else:
return
1.0/hypo
class
train
(dice):
def__init__
(self, hypos, alpha = 1.0):
pmf.__init__ (self)
for hypo in hypos:
self.set (hypo, hypos** (-alpha))
self.normalize()

而下面是生成前置概率的**：

hypos = range(1, 1001)
suite = train(hypos)

如果基於這種先驗概率，在觀察到列車30、60和90時，後驗概率分別是：

上限後驗均值

500131

1000

1332000

134

事實上，考慮乙個任意大的上界，平均值都收斂於134。所以基於冪律分布的先驗概率是比較現實的，因為它基於公司規模的一般情況，並且在實際中表現的更好。

置信區間

對於點估計，通常使用平均數、中位數或最大似然值。

對於區間，通常給出兩個計算值，使得未知量有90%的可能落入這兩個值之間。這些值定義了乙個置信區間。

計算置信區間的乙個簡單方法是在後驗概率分布中累積其中的概率，並記錄對應於概率5%和95%的值。thinkbayes提供了乙個函式計算百分位數：

def
percentile
(pmf, percentage):
p = percentage / 100.0
total = 0
for val, prob in pmf.items():
total += prob
if total >= p:
return val

下面是乙個其應用**：

interval =percentile(suite, 5), percentile(suite, 95)
print interval

在前面的示例（看到了三個火車，且呈冪律分布的先驗概率的火車頭問題）中90%置信區間為(91, 243)。如此大的範圍其實確切的表明，我們仍然相當不確定究竟有多少火車頭存在。

貝葉斯當中，有兩種途徑選擇先驗分布。一些人建議選擇最能代表問題相關背景資料的先驗概率，這種情況下，先驗被認為是「資訊」。另一種方法是所謂的「無資訊參考的先驗」，其目的是為了讓資料來說話，越沒約束越好。

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貝葉斯估計詳解

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