求最長回文子串 Manacher 演算法

給定乙個字串，求出其最長回文子串。例如：

（1）：s="abcd", 最長回文長度為 1；

（2）：s="ababa", 最長回文長度為 5；

（3）：s="abccb", 最長回文長度為 4，即 bccb。

以上問題的傳統思路大概是，遍歷每乙個字元，以該字元為中點向兩邊查詢。其時間複雜度為 o(n2)

，很不高效。1975 年，乙個叫 manacher 的人發明了乙個演算法，manacher 演算法（中文名：馬拉車演算法），該演算法可以把時間複雜度提公升到o(n)

。下面來看看馬拉車演算法是如何工作的。

由於回文分為偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在處理奇偶問題上會比較繁瑣，所以這裡我們使用乙個技巧，具體做法是，在字串首尾，及字元間各插入乙個字元（前提這個字元未出現在串裡）。

舉個例子：s="abbahopxpo"，轉換為s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（這裡的字元 $ 只是為了防止越界，下面**會有說明），如此，s 裡起初有乙個偶回文abba和乙個奇回文opxpo，被轉換為#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，長度都轉換成了奇數。

定義乙個輔助陣列int p，其中p[i]表示以 i 為中心的最長回文的半徑，例如：i0

1234

5678

9101112

1314

1516

1718

19s_new[i]$#

a#b#

b#a#

h#o#

p#x#

p#p[i]12

1252

1212

1212

1412

1 可以看出，p[i] - 1正好是原字串中最長回文串的長度。

接下來的重點就是求解 p 陣列，如下圖：

設定兩個變數，mx 和 id 。mx 代表以 id 為中心的最長回文的右邊界，也就是mx = id + p[id]。

假設我們現在求p[i]，也就是以 i 為中心的最長回文半徑，如果i < mx，如上圖，那麼：

if (i < mx)  

p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

#include

#include
#include
using
namespace
std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
intinit
()    s_new[j] = '\0';  //別忘了哦
return j;  //返回s_new的長度
}int
manacher
()        max_len = max(max_len, p[i] - 1);
}return max_len;
}int
main
()    return
0;}

，在進行證明之前，我們還需要更加深入地理解上述演算法過程。

根據回文的性質，p[i]的值基於以下三種情況得出：

（1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下圖：

上圖中，黑線為 id 的回文，i 與 j 關於 id 對稱，紅線為 j 的回文。那麼根據**此時p[i] = mx - i，即紫線。那麼p[i]還可以更大麼？答案是不可能！見下圖：

假設右側新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那麼根據回文的性質，a 等於 d ，也就是說 id 的回文不僅僅是黑線，而是黑線 + 兩條紫線，矛盾，所以假設不成立，故p[i] = mx - i，不可以再增加一分。

（2）j 回文串全部在 id 的內部，如下圖：

根據**，此時p[i] = p[j]，那麼p[i]還可以更大麼？答案亦是不可能！見下圖：

假設右側新增的紅色部分是p[i]可以增加的部分，那麼根據回文的性質，a 等於 b ，也就是說 j 的回文應該再加上 a 和 b ，矛盾，所以假設不成立，故p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。

（3）j 回文串左端正好與 id 的回文串左端重合，見下圖：

根據**，此時p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，並且p[i]還可以繼續增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 

p[i]++;

。同理，我們也很容易知道最佳情況下的時間複雜度，即字串內字元各不相同的時候。推算得平均訪問每個字元 4 次，即時間複雜度為：tbest(n)=o(n)

。綜上，manacher 演算法的時間複雜度為 o(n)

。

manacher演算法 O n 求最長回文子串

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