有n件物品，第i件物品(i = 1,2,3…n)的價值是vi, 重量是wi,我們有乙個能承重為m的揹包，我們選擇一些物品放入揹包，顯然放入揹包的總重量不超過m。我們要求選擇物品的總價值最大，請問如何選擇？這裡我們假設所有出現的數都是正整數。
第一想法是？
（1） 列舉？萬能的列舉啊。但對於n件物品，每件都可以選擇取或者不取，總的可能性有2n, n = 30就大約已經有10億種可能了！列舉所有可能選擇一種不超過揹包承重並且價值最大的物品組合，列舉量太大了。
（2） 貪心？ 嗯，有點意思。先選最貴重的物品？找個反例：
n = 3, m = 3
v = （2，2，3）
w = （1，2，3）
按照先選貴重物品的策略，會先選擇價值為3的那個，並且揹包裝滿了，但是如果我們選取前兩個物品，總價值可以達到4。
可能你已經想到了，考慮「價效比」，先選取「價效比」高的。價效比怎麼定義呢？用價值除以重量！先選取單位重量價值最大的物品試試？
再舉個例子：
n = 3, m = 7
v = （2，3，4）
w = （3，4，5）
（3） 試試動態規劃？
我們從1-n一件一件選擇物品，為什麼要記錄之前選擇了哪些物品呢？ 因為我們要計算重量和價值，那我們能不能只記錄重量和價值呢？可以的。
令f(i，j)表示選決定了前i件物品，重量恰好為j的時候能獲得的最大價值。
假設我們已經知道了全部的f(i-1，*)的值，如何求f(i，*)，換句話說我們有了狀態表示還不夠，如何求出遞推式？
對f(i,j)如果我們不選取第i件物品，則顯然f(i, j) = f(i – 1,j)
如果我們要選取第i件物品，那麼前i – 1件物品必須要達到j - wi且價值最大。由我們對f的定義，有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那麼我們究竟選不選第i件物品呢？只好看哪個大了值大了，所以由
f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi)
當然只有j>= wi的時候我們才有選擇第i件物品的權力。
那麼初值是什麼呢？f(0,*)，一件物品也不選的時候，顯然重量只能是0，其他的重量都不存在，我們用負無窮來表示不可能，因為求的是最大價值嘛。
f(i,j)=
⎧⎩⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪0
(i=0
∩j=0
)−∞(
i=0∩
j>0)
f(i−
1,j)
(i>0∪
jmax(
f(i−
1,j)
,f(i
−1,j
−wi)
+vi)
(i>0∪
j>wi
)
那麼我們求的值是什麼呢？ 回想f的定義，最終的答案是揹包要裝的物品價值最大。那麼答案應該是max (0<=i<=n) 注意這裡i可以等於0——如果揹包一件物品都容納不了呢？
至此我們的問題得到了解答。分析下複雜度，我們的f第一維顯然只能
到n，第二維能到多大呢？最大也就是揹包的容量，再大沒意義，全是-∞了。那麼我們的空盡複雜度是o(n * m),我們求這些值的時候，每個值最多隻從之前求的兩個值比較得到結果，所以時間複雜度也是o(n * m)。前面提到的列舉演算法時間複雜度是o(2^n),雖然我們不能得出動態規劃演算法更快的結論，但通常認為m不太大。
回到老問題，我們如何得到具體選出哪些物品？慣用伎倆了，看f(i,j)到底是由f(i-1,j)得到的，還是由, f(i-1,j - wi) + vi得到的，從最終結果倒推回去，得到乙個最優解。
優化？我們看一下這個遞推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi), 看一下f(i,*)只與f(i-1,*)相關，再仔細看看我們的第維j，只和更小的值相關，我們可以省掉一維i，然後倒著迴圈j,用舊的值更新新的值，這時f一部分是舊的值f(i-1,*)，一部分是新的值f(i,*)。更具體地說小於j地是舊值，其餘是新值。
核心偽**：
1
2
3
4
5
6
7
f(0)=
0 f(
1.. m)=
-∞
fori=
1tondo
forj=m
downto
wido
f(j)
=max(f
(j), f(j
-wi))
endfor
endfor
所求結果是max
注意我們迴圈j只到wi，因為再小的j會導致我們無法選擇第i件物品，這時我們直接使用不用第i件物品的舊值就好啦。簡單吧？
那麼現在，時間複雜度時不變的，空間複雜度降低o(m)了。
們嘗試換一種狀態表示？ 我們令f(i,j)表示決定了前i件物品，總重量不超過j時能獲得的最大價值。仔細想想遞推式是不變的，那麼初值呢？如果初值不變，f就沒變化了……i＝ 0時，總重量時0，又因為0不超過任何整數，所以根據定義初值是f(0,*) = 0
那麼最終結果呢？根據定義，最終結果是f(n,m)而沒有必要再一串數里取最大了。可見即使遞推式相同，初值不同也會定義不同的函式，請不要忽略初值的作用啊。同樣我們可以優化掉第一維。
核心偽**： 1
2
3
4
5
6
初值f(0..
m)=0
fori=1
tondo
forj=m
downto
wido
f(j)
=max(f
(j), f(j
-wi))
endfor
endfor
所求結果是f(m)
再換一種狀態表示？剛才講了，我們有重量和價值兩個指標，那麼我們令f(i,j)是決定了前i件物品，總價值恰好是j時的最小重量，那麼經過類似的分析，我們可以寫出這樣的初值和遞推式： f
(i,j
)=⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪0(i
=0∩j
=0)∞
(i=0
∩j>0)
f(i−
1,j)
(i>0∪
j)max
(f(i
−1,j
),f(
i−1,
j−wi
)+vi
)(i>0∪
j>vi
)
那結果是什麼呢？
根據定義結果是max, 同樣我們可以優化掉一維的空間複雜度。那麼時間複雜度是什麼呢？ o(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和，也是第二維有意義的大小。
同樣我們也可以重新定義狀態為f(i,j)是決定了前i件物品，總價值不超過j時的最小重量，則遞推式不變，初值
f(0,1.. sum(vi))) = 0
最終的結果也一樣……還是要找到max。
可見，動態規劃問題狀態表示十分靈活，不同的狀態表示會有不同的解決方法。努力取發現吧！
最後，我們來提供輸入輸出資料，由你來寫一段程式，實現這個演算法，只有寫出了正確的程式，才能繼續後面的課程。
輸入
第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的數量，w為揹包的容量。(1 <= n <= 100，1 <= w <= 10000)第2 - n + 1行，每行2個整數，wi和pi，分別是物品的體積和物品的價值。(1 <= wi, pi <= 10000)
輸出
輸出可以容納的最大價值。
輸入示例
3 62 53 8
4 9
輸出示例
14
#include#include#includeusing namespace std;
const int max=1e4+10;
int dp[max];
struct nodegoods[max];
int main()
ans=max(ans,dp[m]);
} cout<
51NOD 揹包問題v2 動態規劃
有n種物品，每種物品的數量為c1，c2.cn。從中任選若干件放在容量為w的揹包裡，每種物品的體積為w1，w2.wn wi為整數 與之相對應的價值為p1,p2.pn pi為整數 求揹包能夠容納的最大價值。input 第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的種類，w為揹包的容量。1 n 100...
51Nod 正整數分組（01揹包）
將一堆正整數分為2組，要求2組的和相差最小。例如 1 2 3 4 5，將1 2 4分為1組，3 5分為1組，兩組和相差1，是所有方案中相差最少的。input 第1行 乙個數n，n為正整數的數量。第2 n 1行，n個正整數。n 100,所有正整數的和 10000 output 輸出這個最小差input...
51nod 正整數分組 01揹包
將一堆正整數分為2組，要求2組的和相差最小。例如 1 2 3 4 5，將1 2 4分為1組，3 5分為1組，兩組和相差1，是所有方案中相差最少的。input 第1行 乙個數n，n為正整數的數量。第2 n 1行，n個正整數。n 100,所有正整數的和 10000 output 輸出這個最小差 inpu...