密碼學總結（一）數學常識

最近非**相關的事情太多，一直在跑這樣的事情，感覺自己越來越能說話了，敲的**卻越來越少了，以致於6月到現在只寫過一篇部落格，趕緊補一篇。

密碼學原理是學過的相關課程，老師教的好，自己感覺也可以，就總結一下，以備後用。

首先要講的，是關於群、環、域的概念，這是離散數學當中的概念，比較難懂，而其實密碼學中對這些概念並沒有多少涉及，都是為了引出「有限域」這個概念，所以，我們先說有限域，在說「群、環、域」，如果不想理解「群、環、域」的概念，亦可。

有限域：顧名思義，即範圍是有限個的「域」（域的概念稍後解釋），它有乙個特點，有限域的大小是乙個素數的若干次方。舉例來說，比如10以內的非負整數，就是乙個有限域。一般描述有限域，通過對整數取模（mod）的餘數來表示，比如所有整數模5的結果，就是乙個有限域（只包含0~4），這是5這個素數的1次方。

么元：如果對於乙個二元運算+（注意+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算），在有若干個數的集合中，有乙個數，對於其他任何數，通過這個二元運算之後，結果都是其他任何數本身，則稱這個數是這個集合對於運算+的么元。以加法為例，0就是在整數這個集合中，關於加法的么元。

零元：和么元類似，不同處在於是有乙個數，對於其他任何數，通過這個二元運算之後，結果都是這個數本身，則這個數是這個集合對於這個二元運算的零元。以乘法為例，0就是零元。

逆元：有乙個二元運算+（注意+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算），如果a+a』=這個運算的么元，那麼，a與a』互為逆元。以加法為例，整數這個集合中，乙個數和它的相反數互為逆元。

群：群表示一種關係，定義乙個集合s和乙個操作+，注意+並不是指一般意義的加法，它可以指代任何二元運算，如果這個集合中的元素，關於這個運算，滿足結合律，每乙個元素有逆元，整個集合有關於這個運算的么元，則稱，這個關係s,+是乙個群。以加法為例，加法在整數這個集合上是乙個群。

環:如果有兩個二元運算+,*(注意+,*並不是指一般意義的加法,乘法，它可以指代任何二元運算)，在乙個集合上，乙個二元運算滿足可結合、可交換、有么元，元素都有逆元，另乙個二元運算滿足可結合，則這個關係s,+，*是乙個環

整環：在環的定義中，只需滿足了可結合的那個運算*（不一定是真正意義的懲罰），如果還滿足了可交換、有么元，對於a*b=0一定能推出a=0或b=0，則這個環是整環。

域：如果乙個整環，集合中有至少兩個元素，且都有逆元，則是域

伽羅華域：首先，這是乙個有限域，其次，這個有限域是2的若干次方。密碼學裡常用的是2^8

再看有限域，以模5為例，0~4的計算結果也要模5，對於普通加法和乘法，可以證明（我其實不會證），這個關係<0~4,+,*>是乙個域，且元素個數有限，所以是有限域。

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