即對以下問題求解：
ma注：x:u=
e(r)
−12a
σ2s.t
. ∑i
ωi=1
不考慮做空的情況下，加一條限制條件ωi
>
0
目標函式及約束條件中： e(
r)=∑
iωie
(ri)
σ2=ω
⃗ tcω
⃗
a 為個人投資者的風險厭惡度，ωi可以直接將資產不區分無風險資產和有風險資產，代入所有已知條件求um為每種資產的配置比例，ω⃗
為各資產配置比例列向量，
c 為各資產ri
的協方差矩陣，是乙個實對稱方陣。
ax及對應的ω⃗
。但也可以將問題分解，首先只考慮風險資產的配置比例問題，然後再考慮無風險資產與風險資產的配置比例問題。
step 1 風險資產的內部配置對應的e−
σ 可行域及邊界曲線
現在假設投資僅限於風險資產（且不做空）:
具體如何求
σ 的左上部分邊界曲線，即為以下問題
mi注：n:σ2
=ωtc
ω s.
t. e
=∑iω
iri∈
[e(r
min)
,e(r
max)
]∑iω
i=1
不考慮做空的情況下，加一條限制條件ωi
>
0
a為個人投資者的風險厭惡度，ωi
為每種風險資產的配置比例，
ω 為各風險資產配置比例列向量，
r 為各風險資產的預期收益率，c為各風險資產ri
間的協方差矩陣，是乙個實對稱方陣，e為區間內某個可能值，遍歷所有可能的e即可得到所求邊界曲線。
上述等式約束條件的二次型問題可以用拉格朗日乘子法求解，問題變為：
l(求解∇ωω)=ω
tcω+
λ1(e
−rtω
)+λ2
(1−ω
ti0)
)∇ωl
(ω,λ
)=0∇
λl(ω
,λ)=
0
l(ω)
：
=∇若ωtr(
l(ω)
) =∇
ωtr(
ωωtc
)−λ1
∇ωtr
(ωte
)−λ2
∇ωtr
(ωti
0)=∇ω
tr(ω
iωtc
)−λ1
e−λ2
i0=cω
+ctω
−λ1e
−λ2i
0 =2
cω−λ
1e−λ
2i0=
0
c 可逆，則ω=
12c−
1(λ1
e+λ2
i0)，結合兩個約束條件即可得λ1
與λ2 ，求得
ω 。
step 2 無風險資產與風險資產的配置比例求解∀(
e,σ)
∈σ，均可作為乙個可行解，我們從
σ 中任取一點(e
p,σp
) ，其對應的配置比例為ω⃗
p 。
下面，考慮該內部配置為ω⃗
p ，預期收益為ep
，標準差為σp
的風險資產與無風險資產的配置問題。
從chapter 6 中可以知道，效用函式取最大值up
時，效用無差異曲線與資本配置線相切，且up
隨著資本配置線的夏普比率
s 增大而增大。
證明： u=e−12
aσ2⇒
u=ef
+y(e
p−ef
)−12
aσ2p
y2⇒最
大值up
進一步考慮，什麼樣的(e
p,σp
) 會使up
取最大值。通過影象可知，與
σ 左上邊界線相切的資本配置線有著最大的
s 值，因而對應著up
,max
，此時的配置比例即為最優配置。