SVM入門（七）為何需要核函式

生存？還是毀滅？——哈姆雷特

可分？還是不可分？——支援向量機

之前一直在討論的線性分類器,器如其名（汗，這是什麼說法啊），只能對線性可分的樣本做處理。如果提供的樣本線性不可分，結果很簡單，線性分類器的求解程式會無限迴圈，永遠也解不出來。這必然使得它的適用範圍大大縮小，而它的很多優點我們實在不原意放棄，怎麼辦呢？是否有某種方法，讓線性不可分的資料變得線性可分呢？

有！其思想說來也簡單，來用乙個二維平面中的分類問題作例子，你一看就會明白。事先宣告，下面這個例子是網路早就有的，我一時找不到原作者的正確資訊，在此借用，並加進了我自己的解說而已。

例子是下面這張圖：

我們把橫軸上端點a和b之間紅色部分裡的所有點定為正類，兩邊的黑色部分裡的點定為負類。試問能找到乙個線性函式把兩類正確分開麼？不能，因為二維空間裡的線性函式就是指直線，顯然找不到符合條件的直線。

但我們可以找到一條曲線，例如下面這一條：

顯然通過點在這條曲線的上方還是下方就可以判斷點所屬的類別（你在橫軸上隨便找一點，算算這一點的函式值，會發現負類的點函式值一定比0大，而正類的一定比0小）。這條曲線就是我們熟知的二次曲線，它的函式表示式可以寫為：

問題只是它不是乙個線性函式，但是，下面要注意看了，新建乙個向量y和a：

這樣g(x)就可以轉化為f(y)=，你可以把y和a分別回帶一下，看看等不等於原來的g(x)。用內積的形式寫你可能看不太清楚，實際上f(y)的形式就是：

g(x)=f(y)=ay

在任意維度的空間中，這種形式的函式都是乙個線性函式（只不過其中的a和y都是多維向量罷了），因為自變數y的次數不大於1。

看出妙在哪了麼？原來在二維空間中乙個線性不可分的問題，對映到四維空間後，變成了線性可分的！因此這也形成了我們最初想解決線性不可分問題的基本思路——向高維空間轉化，使其變得線性可分。

而轉化最關鍵的部分就在於找到x到y的對映方法。遺憾的是，如何找到這個對映，沒有系統性的方法（也就是說，純靠猜和湊）。具體到我們的文字分類問題，文字被表示為上千維的向量，即使維數已經如此之高，也常常是線性不可分的，還要向更高的空間轉化。其中的難度可想而知。

小tips:為什麼說f(y)=ay是四維空間裡的函式?

大家可能一時沒看明白。回想一下我們二維空間裡的函式定義

g(x)=ax+b

變數x是一維的，為什麼說它是二維空間裡的函式呢？因為還有乙個變數我們沒寫出來，它的完整形式其實是

y=g(x)=ax+b

即y=ax+b

再看看

f(y)=ay

f(x』)=』,x』>+b

』都是2000維的向量，

只不過w』是定值，而x』是變數（好吧,嚴格說來這個函式是2001維的,哈哈），現在我們的輸入呢，是乙個1000維的向量x，分類的過程是先把x變換為2000維的向量x』，然後求這個變換後的向量x』與向量w』的內積，再把這個內積的值和b相加，就得到了結果，看結果大於閾值還是小於閾值就得到了分類結果。

你發現了什麼？我們其實只關心那個高維空間裡內積的值，那個值算出來了，分類結果就算出來了。而從理論上說， x』是經由x變換來的，因此廣義上可以把它叫做x的函式（有乙個x，就確定了乙個x』，對吧，確定不出第二個），而w』是常量，

它是乙個低維空間裡的常量w經過變換得到的，所以給了乙個w 和x的值，就有乙個確定的f(x』)值與其對應。這讓我們幻想，是否能有這樣一種函式k(w,x),他接受低維空間的輸入值，卻能算出高維空間的內積值』,x』>？

如果有這樣的函式，那麼當給了乙個低維空間的輸入x以後，

g(x)=k(w,x)+b

f(x』)=』,x』>+b

g(x)裡面代就可以了（再次提醒，這回的g(x)就不是線性函式啦，因為你不能保證k(w,x)這個表示式裡的x次數不高於1哦）。

萬幸的是，這樣的k(w,x)確實存在（發現凡是我們人類能解決的問題，大都是巧得不能再巧，特殊得不能再特殊的問題，總是恰好有些能投機取巧的地方才能解決，由此感到人類的渺小），它被稱作核函式（核，kernel），而且還不止乙個，事實上，只要是滿足了mercer條件的函式，都可以作為核函式。核函式的基本作用就是接受兩個低維空間裡的向量，能夠計算出經過某個變換後在高維空間裡的向量內積值。幾個比較常用的核函式，俄，教課書裡都列過，我就不敲了（懶！）。

回想我們上節說的求乙個線性分類器，它的形式應該是：

現在這個就是高維空間裡的線性函式（為了區別低維和高維空間裡的函式和向量，我改了函式的名字，並且給w和x都加上了 』），我們就可以用乙個低維空間裡的函式（再一次的，這個低維空間裡的函式就不再是線性的啦）來代替，

又發現什麼了？f(x』) 和g(x)裡的α，y，b全都是一樣一樣的！這就是說，儘管給的問題是線性不可分的，但是我們就硬當它是線性問題來求解，只不過求解過程中，凡是要求內積的時候就用你選定的核函式來算。這樣求出來的α再和你選定的核函式一組合，就得到分類器啦！

明白了以上這些，會自然的問接下來兩個問題：

1． 既然有很多的核函式，針對具體問題該怎麼選擇？

2． 如果使用核函式向高維空間對映後，問題仍然是線性不可分的，那怎麼辦？

第乙個問題現在就可以回答你：對核函式的選擇，現在還缺乏指導原則！各種實驗的觀察結果（不光是文字分類）的確表明，某些問題用某些核函式效果很好，用另一些就很差，但是一般來講，徑向基核函式是不會出太大偏差的一種，首選。（我做文字分類系統的時候，使用徑向基核函式，沒有引數調優的情況下，絕大部分類別的準確和召回都在85%以上，可見。雖然libsvm的作者林智仁認為文字分類用線性核函式效果更佳，待考證）

對第二個問題的解決則引出了我們下一節的主題：鬆弛變數。

SVM入門（七）為何需要核函式

生存？還是毀滅？哈姆雷特 可分？還是不可分？支援向量機 之前一直在討論的線性分類器,器如其名 汗，這是什麼說法啊 只能對線性可分的樣本做處理。如果提供的樣本線性不可分，結果很簡單，線性分類器的求解程式會無限迴圈，永遠也解不出來。這必然使得它的適用範圍大大縮小，而它的很多優點我們實在不原意放棄，怎麼辦...

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