異或運算的應用與nimm博弈

異或運算的性質

1、交換律

2、結合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

3、對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 a xor b xor b = a xor 0 = a

5、消去率a^b=c^b;則一定有a=c,這一條是and or都不能滿足的，只有+ -才會有的

應用1：所有的程式教科書都會向初學者指出，要交換兩個變數的值，必須要引入乙個中間變數。但如果使用異或，就可以節約乙個變數的儲存空間：設有a,b兩個變數，儲存的值分別為a，b，則以下三行表示式將互換他們的值表示式（值）：

a=a^b

b=b^a

a=a^b

類似地，該運算還可以應用在加密，資料傳輸，校驗等等許多領域。

應用2：

1-1000放在含有1001個元素的陣列中，只有唯一的乙個元素值重複，其它均只出現

一次。每個陣列元素只能訪問一次，設計乙個演算法，將它找出來；不用輔助儲存空

間，能否設計乙個演算法實現？

解法一、顯然已經有人提出了乙個比較精彩的解法，將所有數加起來，減去1+2+…+1000的和。

這個演算法已經足夠完美了，相信出題者的標準答案也就是這個演算法，唯一的問題是，如果數列過大，則可能會導致溢位。

解法二、異或就沒有這個問題，並且效能更好。

將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^…^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

但是這個演算法雖然很簡單，但證明起來並不是一件容易的事情。這與異或運算的幾個特性有關係。

首先是異或運算滿足交換律、結合律。

所以，1^2^…^n^…^n^…^1000，無論這兩個n出現在什麼位置，都可以轉換成為1^2^…^1000^(n^n)的形式。

其次，對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^…^n^…^n^…^1000 = 1^2^…^1000^(n^n)= 1^2^…^1000^0 = 1^2^…^1000（即序列中除了n的所有數的異或）。

令，1^2^…^1000（序列中不包含n）的結果為t

則1^2^…^1000（序列中包含n）的結果就是t^n。

t^(t^n)=n。

所以，將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^…^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

當然有人會說，1+2+…+1000的結果有高斯定律可以快速計算，但實際上1^2^…^1000的結果也是有規律的，演算法比高斯定律還該簡單的多。

應用3：

google面試題的變形：乙個陣列存放若干整數，乙個數出現奇數次，其餘數均出現偶數次，找出這個出現奇數次的數？

解法有很多，但是最好的和上面一樣，就是把所有數異或，最後結構就是要找的，原理同上！

尼姆博弈（nimm』s game）:

有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是「選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）」，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。

求必勝策略。

結論：為了方便討論，我們假設有3堆石子（a,b,c）,定義a^b^c=0的情況為奇異狀態，無論誰開始移動的時候面對的是奇異狀態，都是必輸。

方法：當我們面對非奇異狀態的時候，移動x個石子，使下個人移動的時候變為奇異狀態

非奇異局勢（a，b，c），d=(a(^)b(^)c)，a,b,c中存在乙個數，^d小於自身,假設這個數是c。要如何變為奇異局勢呢？我們只要將 c 變為 a^b,即可,因為有如下的運算結果:

a^b^(a^b)=0;

而要將c 變為a^b，只要從 c中減去 c-a^b即可(c一定大於a^b)，所以我們在面對非奇異狀態的時候只需從最多的那一堆c中移動x=（c-a^b）個石子，使c變成a^b即可把狀態變為奇異狀態，保證必勝！

推廣到i個的情況，也就是存在乙個ai，讓ai變為ai』即可把非奇異狀態變為奇異狀態。其中ai』為除去ai外所有石子數的異或：(a1^a2^a3…^an)