數是比時間,空間還基本的屬性,萬事萬物皆有數!
自然數就是1,2,3,4,5...
常言到,數軸上的點與實數一一對應.數軸是連續的, 實數集合也是連續的.
那麼,實數的連續性到底是什麼意思呢?
1.戴德金分割建立實數集合
把有理數分成甲、乙兩部分，使乙中每個數比甲中每個數大，這種分法叫做有理數的乙個戴德金分割，簡稱分割。
有理數的每個分割確定乙個實數。有縫隙的分割確定乙個無理數，沒有縫隙的分割確定乙個有理數。
這樣建立實數系的方法是德國數學家戴德金(j.w.r. dedekind，1831～1916)提出來的。
可見,無理數把有理數之間的縫隙全部填充了起來.
2.連續的性質
我們把全體實數分成甲、乙兩個非空集合，如果甲集合裡任乙個數a比乙集合裡的任乙個數b都小，
或者甲集合裡有最大數，或者乙集裡有最小數，兩種情況必居其一，有且只有一種，這就叫做實數的連續性。
通俗的解釋就是:用一把刀去砍乙個數軸,必然砍到乙個實數,這個實數或者屬於甲,或者屬於乙,二者必具其一.
數軸上的點與實數一一對應.這個知識點可以當成實數的定義,是公理或定義.
因為線段是連續的,所以我們也說實數是連續的.戴德金用無理數填充了所有有理數的縫隙.
連續的乙個性質. 如果用4條連續的線段圍成乙個方形,中間灌滿水,水是跑不出來的,
因為線段沒有縫隙. 實數乙個接乙個連在一起,沒有縫隙.
3.萬物皆是數,線段並不由點構成,而是由無窮小線段構成.線段包含點.
想一想也確實耐人尋味,這個連續的線,都能夠用數來表達,難怪萬物皆是數了.
但這裡面有乙個悖論, 數描述的只是乙個點,點是沒有長度的,而線段是有長度的.
這就是說,無窮多個點也構不成線段.所以應該說,這個點是乙個無窮小線段,而不是邏輯上的乙個點.
就是說,線段只能由線段來構成,而不能由點來構成.所以嚴謹的說法應該是這個實數代表了乙個無窮小線段.
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