維度探索二維線段樹

線段樹是乙個神奇的東西，可以o（n）建樹，o（logn）修改、查詢，維護乙個區間的性質。但是線段樹維護的序列一定是一維的，如果我要維護乙個「二維」的結構呢？就比如說，維護乙個矩陣中子矩陣的和。簡單地說就是給你乙個**，每次用「圈出」乙個矩形的部分讓你求它所有元素的和。

沒有學過線段樹的同學們一定要先學一下線段樹一定要先學習一下，再來看這篇部落格。

解決這個問題自然要從靜態（一維）區間和得出靈感。靜態一維區間和我們用的方法是求「字首和」，我們可以用o（n）的時間複雜度求出乙個pre陣列，pre[i]表示閉區間[1,i]對應元素的和。如果我想要求區間[i,j]的區間和，用計算pre[j]-pre[i-1]就可以o（1）解決問題。

同學們可以嘗試著把這個理論推廣到二維，我們可以去維護乙個二維「字首和」來解決這個問題。

區域「i」的矩陣和，就相當於是區域「i+ii+iii+iv」的和減去區域「iii+iv」、減去區域「iii+ii」、再加上區域「iii」。

如果我們用sum(i,j,k,l)表示區域「i」，那麼就有sum(i,j,k,l)=sum(1,j,1,l)-sum(1,i,1,l)-sum(1,j,1,k)+sum(1,i,1,k)。這樣我們就把所有的資料表示成了乙個「二維字首」的形式了。我們可以用pre(i,j)表示sum(1,i,1,j)，就有sum(i,j,k,l)=pre(j,l)-pre(i,l)-pre(j,k)+pre(i,k)。

pre(i,j)如何求解呢？顯然可以使用和sum同樣的方法：pre[i][j]=pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+a[i][j]（a表示原陣列）。

請看偽**：

init:
for i = 1 to n
for j = 1 to m
pre[i][j]=pre[i-1][j]+pre[i][j-1]-pre[i-1][j-1]+a[i][j]
query:
sum(i,j,k,l)=pre[j][l]-pre[i][l]-pre[j][k]+pre[i][k]

二維線段樹，每乙個節點對應乙個子矩陣（根節點代表整體），每個節點有四個兒子節點，分別表示它的「左上，左下，右上，右下」四個部分，例如下圖：

當然，如果邊長不是二的整數次冪也是可以這樣二分的：

這樣我們就得到了乙個建樹的方法：

build(root,left,right,up,down)
if 確定到唯一元素
root.sum=這個元素
else
if 這個區域只有一列
root.左上子=新結點
root.左下子=新結點
int mid=(up+down)/2
build(root.左上子,left,right,up,mid)
build(root.左下子,left,right,mid+1,down)
root.sum=root.左上子.sum+root.左下子.sum
else
if 這個區間只有一行
root.左上子=新結點
root.右上子=新結點
int mid=(left+right)/2
build(root.左上子,left,mid,up,down)
build(root.右上子,mid+1,right,up,down)
root.sum=root.左上子.sum+root.右上子.sum
else
root.左上子=新結點
root.左下子=新結點
root.右上子=新結點
root.右下子=新結點
int midlr=(left+right)/2
int midud=(up+down)/2
build(root.左上子,left,midlr,up,midud)
build(root.左下子,left,midlr,midud+1,down)
build(root.右上子,midlr+1,right,up,midud)
build(root.右下子,midlr+1,right,midud+1,down)
root.sum=root.左上子.sum+root.左下子.sum+root.右上子.sum+root.右下子.sum

查詢還是比較簡單的（因為沒有lazy，不懂的回去複習線段樹！）：

query(root,left,right,up,down)
if root == null//這樣當查詢null結點時可以直接忽略掉,不會re
return
0return query(root.左上子,left,right,up,down)+
query(root.左下子,left,right,up,down)+
query(root.右上子,left,right,up,down)+
query(root.右下子,left,right,up,down)

然後是正經的**：

struct node
}ns[1048576];
int newnode=1;//當前亟待申請的節點
#define lst(root) (ns[root].l)
#define rst(root) (ns[root].r)
#define ust(root) (ns[root].u)
#define dst(root) (ns[root].d)//表示乙個結點的區間範圍
#define luch(root) (ns[root].luch)
#define ruch(root) (ns[root].ruch)
#define ldch(root) (ns[root].ldch)
#define rdch(root) (ns[root].rdch)//表示乙個結點的四個兒子
#define sum(root) (ns[root].sum)//這些define可以使**更好理解，但實際上沒什麼必要
int a[101][101];
void build(int root,int l,int r,int u,int d)
else
if(l==r)
else
}int ask(int root,int l,int r,int u,int d)

理論上來講，**與普通線段樹是極其相似的。

趕稿匆忙，如有謬誤，望同學們諒解。

維度探索 二維線段樹

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