a是乙個基數為n的集合，r是a上的乙個關係，則有r∞
=r∪r
2∪r3
∪⋯∪r
n . 換句話說，計算不需要用到r的n次以上的冪。
a，b是a中的元素，假設是r中一條從a到b的路，那麼都在r中。如果和是同乙個頂點，約定j > i，那麼這段路能被劃分為三個部分。第一段從a到，第二段從到，第三段從到b。中間的第二段是個迴圈，因為，所以我們除去重複然後連線前後兩段。這樣我們就得到一條更短的，從a到b的路。（圖4.43）
現在是a到b最短的路。如果，那麼都是不同的頂點。否則，根據先前的討論，我們能找到一條更短的路。因此，這條路的長度最多為（因為的基數為）。如果，相似地，頂點是不同的，所以這條路的長度最多為。總之，如果，那麼只要。因此.
例1用的方法都有明顯的缺點。畫圖的方法對於巨大的集合不適用，它本身也不是系統化的方法。矩陣的方法是通用的且系統化得足以應用於計算機程式設計，但是對於龐大的矩陣，它就顯得效率低下、過於浪費資源。幸運的是，有乙個更加高效地計算傳遞閉包的演算法。就是被熟知的沃夏爾演算法，我們馬上會講到。
設集合，是上的關係。如果是中的路，那麼任意除了和都叫作路的內部點。現在，對於，我們用以下方法定義乙個布林矩陣。當到之間存在一條路，其內部點來自集合，那麼的第i行第j列位置為1。
因為任意的頂點一定在集合中，它所代表的矩陣某個位置為1，當且僅當與之間有路。也就是說，。如果我們定義，那麼我們就得到乙個數列，。我們會展示怎麼從計算得到。這樣我們就能從一步一步，經過n步計算得到。這個過程被稱為沃夏爾演算法。和的冪級是不一樣的，這種不同使得它能大量節省計算的傳遞閉包的步驟。
假設和。如果，就說明與有路，而且這條路只經過一些在集合的頂點。如果沒有經過，那麼肯定經過了集合中的點，即。如果經過了，那麼情況就像圖4.44所展示的那樣。在定理2的證明中，我們假定了內部點都是互異的。因此只會在路中出現一次，所以子路1和子路2的點必然來自集合。這意味著和。
綜上，只要
（1） 或者
（2）這就是沃夏爾演算法的基本內容。如果的i，j位置為1，根據（1），對應位置也為1。根據（2），如果的i，k位置為1，且k，j位置也為1，那麼的i，j位置就為1。根據以下過程我們就能從計算出。
第一步 轉移所有1到。
第二步 列出中第k行中為1的列數，第k列為1的行數
第三部 將中，位置設為1。
例二 思考定義在例一的關係r，那麼
和n=4
第一步我們要計算那麼。在2，1位置和1，2位置都為1，因此只是在基礎上，在2，2位置變為1。
現在我們計算，那麼，我們必須考慮第2列和第二行的位置。在位置1，2；2，2；2，1；2，3都為1。
因此，為了得到，我們必須在的基礎上將1，1；1，2；1，3；2，1；2，2；2，3位置置為1。我們看到
繼續這個過程，在位置1，3；2，3；3，4為1。為了得到，我們要將1，4；2，4置為1。那麼
最後，第4列的1，2，3位置為1，不過沒有1在第4行，所以沒有新的位置被置為1，那麼，我們就得到了例一的結果。
例二說明的過程產生了一下的演算法closure來計算基於矩陣關係r的傳遞閉包。
這個演算法是被建立在精確的執行出我們先前寫出來的過程。如果稍作修改，它能稍微提高一點效率。如果我們認為賦值和比較是一步完成的，那麼兩個布林矩陣a、b的布林積需要步，因為我們要計算個元素，每個需要n次比較。去計算全部的積，我們需要步，因為需要步來計算矩陣乘積。如果直接用公式
會需要步來實現（忽略最終連線）。因此沃夏爾演算法是對於直接用公式（1）計算的重大改進。
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