線性回歸基礎

在這裡，關於數學原理部分全部用「引用」的格式進行說明，如果對數學原理十分熟悉，可以跳過。但對於原理並不熟悉的人，了解清楚原理是十分必要的。

單變數線性回歸是一種非常簡單的，根據乙個變數x**定量響應變數y的方法。它假設x和y是線性關係。**模型為： y=

a0+a

1x，其中 a

0,a1

為模型的係數（引數），分別代表截距和斜率。

線性回歸中最常用的確定回歸引數的方法是最小二乘法。其原理是：使得模型所體現的直線盡可能接近每個資料點。而確定接近程度的度量一般使用殘差平方和。因此最小二乘法就是找到殘差平方和最小的模型引數。

殘差平方和（residual sum of squares, rss）： rs

s=e2

1+e2

2+……

+e2n

其中 e

i=yi

−yi^

,yi^

=a0+

a1xi

，上式也可以寫作 r

ss=∑

(yi−

yi^)

2

另外定義總平方和（ts

s ）， t

ss=∑

(yi−

y¯)2

不難看出，tss實際就是響應變數的方差。

1. 殘差標準差（rse）

因為真實資料的方差(σ2

)一般是未知的，因此使用殘差標準誤差（residual standard error, rse）來估計。rs

e=rs

sn−2

−−−−

−√rse是度量模型失擬（lack of fit）的，如果模型對每個資料擬合的都很好，rse則較小。但rse是以y的單位為量綱，所以有時不清楚如何影響rse變化。

2. r

2 統計量r2

統計量是衡量擬合度的另乙個標準，其定義為：r2

=1−r

ssts

s tss表示了響應變數固有的不確定性，rss則代表回歸後仍然無法解釋的不確定性。通俗來說，r2

顯示了響應變數能夠解釋的部分所佔比例。r2

取值為[0,1]，r2

=1表示回歸解釋了響應變數全部的變異，r2

=0表示回歸沒有解釋響應變數的變異。 * r

2 與rse相比，更加通俗易懂，因為rse的量綱是響應變數的量綱，不夠直觀 * r

2 的取值可以理解成模型的解釋性，例如r2

=0.6

表明模型可以解釋60%的響應變數。

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