莫隊演算法
有時候我們經常會碰到這樣一類問題：給定n和n個數etc，然後給出m組區間詢問[l,r],要求對所有詢問區間給出答案。
然後發現這類題通常有乙個很好的性質就是，如果你知道了[l,r]的答案，就可以o(1)或者o(lgn)（再大就有點玄了）的知道
使得根據第i個區間[li,ri]的答案拓展到第i+1個區間[l_(i+1),r_(i+1)]的答案的用時之和最少。
好吧，上面這句話有點難懂。我們再詳細點說。
不妨假設你可以做到o(1)的擴充套件左右端點，即由[l,r]的答案可以o(1)的知道[l+1,r],[l-1,r],[l,r+1],[l,r-1]的答案。
那麼，如果你知道了[li,ri]的答案，你就可以在o( | li - l_(i+1) | + | ri - r_(i+1) | )的複雜度上知道[l_(i+1),r_(i+1)]的答案。
如果把[l,r]看作平面上的點(l,r)，那麼從乙個點（也就是答案）擴充套件到另乙個點（下乙個答案）就是兩點的曼哈頓距離。
我們可以證明存在一種走法，走過所有點，且移動距離之和是o(n*sqrt(n))的。
但是這個大概常數巨大而且不好寫，所以我們有一種替代品，也可以說是改良版，就是分塊。
具體做法是這樣的：
我們把所有詢問都進來，然後把那個長為n的序列分塊，分為sqrt(n)塊。
按照左端點所在塊的編號（記為pos( query[i].left )）公升序排序，如果左端點在同乙個塊內，就按照右端點公升序排序。
有讀者可能會問，為什麼不直接按照左端點公升序-右端點公升序排序呢？
事實上，讀者可以構造乙個例子，在最壞情況下，按照這種暴力排序的方法複雜度是o(n^2)級別的。
那麼問題來了：為什麼莫隊演算法的排序保證時間複雜度是o(n*sqrt(n))的呢？
簡單證明如下：
當我們第i個詢問轉移的第i+1個詢問時
1）如果第i個詢問區間和第i+1個詢問區間的左端點所在塊的編號相同，那麼左端點的移動不會超過sqrt(n)。
也就是說，左端點一直在塊內移動的總複雜度為o(n*sqrt(n))(因為左端點最多轉移n次，減去左端點跨越塊的部分，不足n)
同時由於右端點公升序，那麼若s,s+1,,,t-1,t的詢問區間左端點所在塊的編號相等，那麼右端點的移動不會超過n次。有一位有sqrt(n)個塊，
所以這一部分的複雜度是o(n*sqrt(n))的。
2）考慮左端點跨越塊的情況，每次跨越最大是o(2*sqrt(n))那麼左端點跨越塊的複雜度o(n*sqrt(n))的。
又在這個期間，每次左端點跨越的時候，右端點可能要移動o(n)次，一共左端點跨越sqrt(n)個塊，所以右端點複雜度是o(n*sqrt(n))的。
綜上莫隊演算法的排序保證時間複雜度是o(n*sqrt(n))的。
可以進一步的說，莫隊演算法的總複雜度是o(m*sqrt(n)*f(n)+m*g(n))的，m是詢問數。其中f(n)是拓展一次端點的複雜度，通常為o(1)或者o(lgn)。g(n)是根據現有資訊計算乙個區間答案的複雜度，通常為o(1)或者o(lgn)。由此可以看出，當我們有多種可以維護莫隊演算法的資料結構的時候，要盡量使修改操作複雜度低。乙個例子是bzoj3809的一道題，如果用樹狀陣列，修改和查詢都是o(lgn)的，那麼套乙個莫隊複雜度就是o(m*sqrt(n)*lgn)的。但是我們可以用分塊代替，這樣雖然詢問是o(sqrt(n))的，但是修改卻變成o(1)的了，總複雜度就是o(m*sqrt(n))。
莫隊演算法模板：
#include#include#include#define maxn //最大序列長度
#define maxm //最大操作次數
#define pos(i) (i/sz)
using namespace std;
int ans[maxm],ans,sz;
//以及其他輔助陣列和資料結構
struct queryq[maxm];
bool cmp(const query &q1,const query &q2)//排序比較的函式
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%d\n",ans[i]);//輸出答案
return 0;
}
大概就是這樣。
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