「十進位制數 2127 代表什麼？」這或許是個很弱智的問題，但是
(2127)10
實際上表示：2×
103+1
×102+
2×101
+7×10
0 這麼寫雖然看起來沒什麼卵用，但我想說明的是：第乙個位置的 「2」 和第三個位置的 「2」 並不是乙個 「2」，第乙個表示的是
2000
，即 2×
103，而另乙個表示的是
20 ，即 2×
101。
不同位置的 「2」 雖然都是 「2」，但是它們代表的 「大小「 卻並不相同。我不清楚設計者為什麼會創造這樣的記數方式，但是這種方法確實可以有效地幫助我們理解其他進製的數，例如……
「二進位制數 11010 代表多少？」儘管很難一眼就看出這是多少，但是如果我們把它也轉變為上面的寫法，即：
(11010)2
===1
×24+
1×23
+0×2
2+1×
21+0
×2016
+8+2
(26)10
這樣或許就能更容易地理解這個二進位制數到底是「多少」，而實際上這也是二進位制數轉化為十進位制數的方法。
所謂 「進製」 就是 「進製的方法」。十進位制是逢十進位，用 0~9 十個數字，二進位制是逢二進一，用 0、1 兩個數字。同樣 n 進製就是逢 n 進一，用 0~n-1 共 n 個符號表示。
乙個 n 進製數從右往左數第 m 個數a 代表的 」大小「 就是 a×
nm−1
，將各個位上的數所代表的 」大小」 加起來就是這個數實際的 「大小」 。
那麼十進位制數如何轉換為二進位制數呢？一種十分常見的方法是 「短除法」，即 「除二取餘，商零為止，餘數倒排」。
比如說，將 (26
)10轉化為二進位制數的過程為：26÷
2=13÷
2=6÷
2=3÷
2=1÷
2=13…
06…1
3…01
…10…
1 像上面這樣，不斷地除以 2，直到商為 0 為止，然後將得到的餘數倒過來排列，就得到結果：(26
)10=(
11010)2
假設有乙個二進位制數 abcd，其中每個字母代表乙個 0 或 1 。我們假設這個數等於十進位制數 12 吧。那麼我們要怎麼計算 a、b、c、d 到底是 0 還是 1 呢？
按照第一節中數的意義，將 abcd 從二進位制轉換成十進位制，那麼會得到：(a
bcd)
2==a
×23+
b×22
+c×2
1+d×
20(12
)10於是我們得到了乙個等式：a×
23+b
×22+
c×21
+d×2
0=12
不過這是個一元四次方程，似乎並不能得到唯一解……
但是實際上我們忽略了兩個重要的約束條件：
別小看這點條件，它們的作用可是頂得上兩個等式的！
首先觀察一下上述等式，我們發現，除了 d 之外，a、b、c 都有共同的係數 2，於是我們就可以對前三項進行因式分解：2×
(22a
+21b
+c)+
d=12
我們將括號內的內容看成乙個整體，就叫
k 吧，不難證明
k是個正整數，於是式子就簡化成：2k
+d=12
而我們知道 d 不是 0 就是 1，
k 又是正整數，那麼這個式子不就等價於：12÷
2=k…
d是吧？d 就是 12 除以 2 的餘數，顯然 d 就是 0 了！（因為 d 是 1 的話 k 就不可能是整數）那麼 k 就是 6，即：22
a+21
b+c=
6 這個式子很熟悉是不是，除了最後一項，前幾項都有公共係數 2，於是我們又可以按照前面的套路進行因式分解：2(
2a+b
)+c=
6 於是我們可以用與前面完全相同的方式處理，得到：6÷
2=(2
a+b)
…c於是就得出 c 是 0，2a
+b是 3 。
仔細看看，這不是就和短除法一模一樣的過程嗎？沒錯，可以這樣一直算到頭，並且證明方法完全相同：2a
+b=3
可得出 a 和 b，都是 1，而 c、d 都是 0，於是最終得到：(12
)10=(
1100)2
所以說，短除法不過是簡單的逆運算，因為有了正整數和大小的約束條件，即使只有乙個等式，我們可以得出唯一的正確解。
不僅是十進位制和二進位制，其他進製，甚至是負進製。只要理解了通過因式分解可以將等式變成整數的帶餘數除法等式，再進行遞迴計算餘下部分這一思路，剩下的只是加加減減上的不同。
有興趣的同學可以試試 這道負進製轉換的題，當時想了半天的說……（noip2000 d1t1 我竟然都做得這麼費勁/(ㄒoㄒ)/~~）
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