在二進位制編碼傳輸協議中，為了資料傳輸的正確性經常會採用迴圈冗餘校驗碼crc(cyclic redundancy check)來測試乙個資料報是否有錯誤發生，迴圈冗餘校驗碼的理論雖然比較複雜，但是實現原理卻較為簡單。在k位資訊碼(多項式表示為m(x))後再拼接r位的校驗碼,整個編碼長度為n位，因此這種編碼又叫(n,k)碼。對於乙個給定的(n,k)碼，可以證明存在乙個最高次冪為n -k= r的多項式g(x)。根據g(x)可以生成k位資訊的校驗碼，而g(x)叫做這個crc碼的生成多項式。
校驗碼的具體生成過程為：假設傳送資訊用資料多項式m(x)表示，將m(x)左移n -k位，則可表示成m(x)× 2n-k。這樣m(x)的右邊就會空出n -k位，即校驗碼的位置。m(x)× 2n-k通過模2除法(異或運算，後面詳解)除以生成多項式g(x)得到的商q(x)和餘數r(x),其中餘數r(x)就是校驗碼。即
在傳送端傳送資料時餘數加到資訊碼之後一同發出，將一組資訊碼和餘數組成的資料塊稱為乙個碼元，設為t(x)，則有t(x)= m(x)× 2 n-k+ r(x)。接收端在接收到二進位製碼流的多想表示式都能夠被生成多項式g(x)整除，如果傳輸中未發生錯誤，則接收碼元與傳送碼元相同，故接收的碼元必定能被g(x)整除；若碼元在傳輸中發生錯誤，則接收的碼元可能除不盡而有餘數，因此我們就以餘數是否為零來判斷接收碼元中有無錯誤。可能有錯誤的碼元正好也被g(x)整除，這是crc校驗無力消除的，但通過選擇多項式g(x)和增加冗餘位數,使餘數r(x)多項式的位數增多，來降低發生這種錯誤的概率。
「模2除法」與「算術除法」類似，但它既不向上位借位，也不比較除數和被除數的相同位數值的大小，只要以相同位數進行相除即可。模2加法運算為：1+1=0，0+1=1，0+0=0，無進製，也無借位；模2減法運算為：1-1=0，0-1=1，1-0=1，0-0=0，也無進製，無借位。相當於二進位制中的邏輯異或運算。也就是比較後，兩者對應位相同則結果為「0」，不同則結果為「1」。如100101除以1110，結果得到商為11，餘數為1，如圖5-9左圖所示。如11×11=101，如圖1所示。
圖1 「模2除法」和「模2乘法」示例
具體來說，crc校驗原理就是以下幾個步驟：
（1）先選擇（可以隨機選擇，也可按標準選擇，具體在後面介紹）乙個用於在接收端進行校驗時，對接收的幀進行除法運算的除數（是二進位制比較特串，通常是以多項方式表示，所以crc又稱多項式編碼方法，這個多項式也稱之為「生成多項式」）。
（2）看所選定的除數二進位制位數（假設為k位），然後在要傳送的資料幀（假設為m位）後面加上k-1位「0」，然後以這個加了k-1個「0「的新幀（一共是m+k-1位）以「模2除法」方式除以上面這個除數，所得到的餘數（也是二進位制的位元串）就是該幀的crc校驗碼，也稱之為fcs（幀校驗序列）。但要注意的是，餘數的位數一定要是比除數字數只能少一位，哪怕前面位是0，甚至是全為0（附帶好整除時）也都不能省略。
（3）再把這個校驗碼附加在原資料幀（就是m位的幀，注意不是在後面形成的m+k-1位的幀）後面，構建乙個新幀傳送到接收端，最後在接收端再把這個新幀以「模2除法」方式除以前面選擇的除數，如果沒有餘數，則表明該幀在傳輸過程中沒出錯，否則出現了差錯。
從上面可以看出，crc校驗中有兩個關鍵點：一是要預先確定乙個傳送端和接收端都用來作為除數的二進位制位元串（或多項式）；二是把原始幀與上面選定的除進行二進位制除法運算，計算出fcs（幀校驗序列）。前者可以隨機選擇，也可按國際上通行的標準選擇，但最高位和最低位必須均為「1」，如在ibm的sdlc（同步資料鏈路控制）規程中使用的crc-16（也就是這個除數一共是17位）生成多項式g（x）= x16 + x15 + x2 +1（對應二進位制位元串為：11000000000000101）；而在iso hdlc（高階資料鏈路控制）規程、itu的sdlc、x.25、v.34、v.41、v.42等中使用ccitt-16生成多項式g（x）=x16 + x15 + x5 +1（對應二進位制位元串為：11000000000100001）。
crc校驗碼的計算示例
由以上分析可知，既然除數是隨機，或者按標準選定的，所以crc校驗的關鍵是如何求出餘數，也就是crc校驗碼。
下面以乙個例子來具體說明整個過程。現假設選擇的crc生成多項式為g（x） = x4 + x3 + 1，要求出二進位制序列10110011的crc校驗碼。下面是具體的計算過程：
（1）首先把生成多項式轉換成二進位制數，由g（x） = x4 + x3 + 1可以知道（，它一共是5位（總位數等於最高位的冪次加1，即4+1=5），然後根據多項式各項的含義（多項式只列出二進位制值為1的位，也就是這個二進位制的第4位、第3位、第0位的二進位制均為1，其它位均為0）很快就可得到它的二進位制位元串為11001。
（2）因為生成多項式的位數為5，根據前面的介紹，得知crc校驗碼的位數為4（校驗碼的位數比生成多項式的位數少1）。因為原資料幀10110011，在它後面再加4個0，得到101100110000，然後把這個數以「模2除法」方式除以生成多項式，得到的餘數，即crc校驗碼為0100，如圖2所示。注意參考前面介紹的「模2除法」運算法則。
圖2 crc校驗碼計算示例
（3）把上步計算得到的crc校驗碼0100替換原始幀101100110000後面的四個「0」，得到新幀101100110100。再把這個新幀傳送到接收端。
（4）當以上新幀到達接收端後，接收端會把這個新幀再用上面選定的除數11001以「模2除法」方式去除，驗證餘數是否為0，如果為0，則證明該幀資料在傳輸過程中沒有出現差錯，否則出現了差錯。
原始碼詳見：
CRC校驗碼（C 實現）
crc校驗 迴圈冗餘校驗 小知識 crc即迴圈冗餘校驗碼 cyclic redundancy check 是資料通訊領域中最常用的一種查錯校驗碼，其特徵是資訊字段和校驗欄位的長度可以任意選定。迴圈冗餘檢查 crc 是一種資料傳輸檢錯功能，對資料進行多項式計算，並將得到的結果附在幀的後面，接收裝置也執...
模2除法介紹 CRC校驗碼計算
需要先了解模2加減法，究其根本其實是按位進行異或操作。模2加減法 按位異或操作，相同則0，不同則1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 例子 1011 1000 計算過程 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 結果 1011 1000 0011 跟普通除法類似，但是 每次步驟的...
CRC 迴圈冗餘校驗碼 的計算方法
迴圈冗餘校驗crc cyclical redundancy check 字段位於尾部，有32位，有時稱為ieee ansi標準的crc32.要使用乙個n位crc監測 資料傳輸錯誤，被檢查的訊息首先要追加n位0形成乙個擴充套件訊息 使用模2除法 除以乙個n 1位的值，這個作為出書的紙稱為生成 多項式。...