稀疏表達在人臉識別領域無疑有著舉足輕重的地位。下面簡單介紹一下大致內容：=[xi
1,xi
2,…,
xni]
∈rm∗
n ,xi
j 就代表屬於第i個類的第j個樣本的m維的列向量，這裡n=
∑ci=
1ni 就是訓練樣本的總數。我們把x=
[x1,
x2,…
,xc]
作為字典，測試樣本y可以由
x 線性表示，比如，y=xα
,這裡α
是個係數向量。若
m<
n ,那麼y=xα
就是不確定的，也就是說
α 並不唯一。因為測試樣本總能被訓練樣本正確歸類，而當訓練樣本數量足夠多的時候，表示矩陣往往是稀疏的。src強調用來標書的係數向量
α 越稀疏，那麼對測試樣本進行分類就越容易。這使得人們迫切希望通過求解下面的最優化問題來得到最稀疏的解： α^
=arg
min|
|y−x
α||2
+λ||
α||1
這裡，λ 是個標量。上述公式所示的最優化問題有很多有效地解決演算法，如：bp(basis pursuit)演算法,l1_ls(壓縮感知一範數求解)演算法等等。
到此，我們已經得到了最稀疏的解α^
,命ϵi:
rn−>rn
是乙個能夠人性化地為第i個類選擇相應的係數的函式，ϵi
(α^)
是乙個向量，其中唯一非零項同樣也是與第i類相關的α^
的項，測試樣本
y 就可以據此重構：yi
^=xϵ
i(α^
).那麼
y 該分到那個類呢？我們認為，y和
yi之間的類重構錯誤最少，那就應該分為哪一類。公式如下: id
enti
ty(y
)=ar
gmin
i||y
−xϵi
(α^)
||2
在實際的應用中，資料有可能出現損壞或遮擋等等，我們需要允許一定錯誤率,上面的公式可以重寫為： y=
y0+e
=xα+
e=[x
,i][
α,e]
t=bw
這裡 b=
[x,i
]∈rm
×(m+
n),i
∈rm×
n 是乙個單位矩陣。這個時候，「乾淨」的測試樣本資料y0
以及差錯
e 可以通過字典x以及
i 進行係數編碼，稀疏解w^
=[α^
t,e^
t]t就能通過解決最優化問題(上面提出第一條公式)得到計算。
y 的正確分類遵循下面額規則： id
enti
fy(y
)=mi
ni||
y−xϵ
i(α^
)−e^||2
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