前言
在這學期（大三上）去「蹭」了一次校招面試題，程式設計題中就有一道關於斐波那契數列的程式設計問題。如果不選擇遞迴求解，就需要說明原因。當時還沒怎麼接觸演算法這方面的知識（筆者非科班），關於什麼執行時間分析、空間複雜度分析的就是一臉懵逼，於是就描述了下可能會引發棧溢位的問題。在慢慢學習了一些演算法基礎之後，才明白那道題想考的就是關於執行時間的分析！
什麼都別說，先「走」兩步
下面是使用遞迴計算斐波那契數列第n項的例程：
long fib(int n) else
}
當n ≥ 2時，t(n) = t(n - 1) + t(n - 2) + 2（2表示執行條件判斷和加法的時間）;
由fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2), n ≥ 2,由歸納法可以證明t(n) ≥ fib(n)，同理可證當n > 4時，fib(n) > (3 / 2) ^ n，也就是說(3 / 2) ^ n = o(t(n))
（勘誤），即執行時間大於隨著n的增加呈指數增長的情形，可見此場景下如此使用遞迴效率的低下。 附：
證明1：
基準情形：t(0) = t(1) = fib(0) = fib(1) = 1
歸納假設：當0 ≤ n ≤ n，t(n) ≥ fib(n)
則只需證明t(n + 1) ≥ fib(n + 1)即可。
而t(n + 1) = t(n) + t(n - 1) ,由歸納假設可得：
t(n + 1) ≥ fib(n) + fib(n - 1)
=>
t(n + 1) ≥ fib(n) ，原命題得證。
證明2：
基準情形：fib(5) = 8 > ((3 / 2) ^ 5), fib(6) = 13 > ((3 / 2) ^ 6)
歸納假設：當4 ≤ n ≤ n時，fib(n) > ((3 / 2) ^ n)
則只需證明fib(n + 1) > ((3 / 2) ^ (n + 1)) 即可。
而fib(n + 1) = fib(n) + fib(n - 1) ，由歸納假設可得：
fib(n + 1) > (3 / 2) ^ n + (3 / 2) ^ (n - 1) => fib(n + 1) > (3 / 2) ^ (n + 1) ÷ (3 / 2) + (3 / 2) ^ (n + 1) ÷ (3 / 2) ^ 2 => fib(n + 1) > (3 / 2) ^ (n + 1) * (10 / 9) => fib(n + 1) > (3 / 2) ^ (n + 1)
在給出普通陣列和for迴圈的實現，以作對比：
for (int i = 0; i
< numberscount; i ++)
else
}
總結在學習演算法的很短的日子了就深刻體會到了一點：學好數學很重要、
學好數學很重要、
學好數學很重要！特別是一些數學公式的記憶，比如讓你求等差數列的前項和，如果記不得公式，恐怕你就只有迴圈求解了，但如果你記得的話就是乙個公式就可以搞定的啊！當然，這只是乙個簡單的比喻，但本質的道理是相同的。所以如果你還有數學課，那麼且行且珍惜！
在這裡敲打一遍幾個記法的定義，給自己長長記性：
可見，此處下這樣的定義是不恰當的。
遞迴與斐波那契數列
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