4 兩個有序陣列中第k小的數

參考**

求兩個有序陣列中第k個元素。要求時間複雜度o(log(m+n)) ，空間複雜度o(1)。

def
median
(num1,num2,k):
len1,len2 = len(num1),len(num2)
if (len1 + len2) < k:#首先得檢查合法行啊
return -1
index1,index2 = 0,0
while index1 < len1 and index2 < len2:
if index1 + index2 == k - 1:  #此時已經比較了k-1個,所以此時較小的那個就是第k個小的數
return min(num1[index1],num2[index2])
if num1[index1] < num2[index2]:
index1 += 1
else:
index2 += 1
if index1 >= len1 or index2 >= len2:#防止越界
break
#num2空了但是未取到第k個數,所以num1中第index1 + k - index2 - 1就為第k個數(-1是因為索引從0開始)
if (index1 + index2) < k and index1 < len1:
return num1[k - index2 - 1]
#同理if (index1 + index2) < k and index2 < len2:
return num2[k - index1 - 1]

這種方法的時間複雜度為o(m + n)，不合要求啊。看到(log(m+n))就會想到二分。。。

假設有序序列a和b的元素個數都大於k/2，下標從0開始，a[x]代表a的第x+1個元素，總序列是由a，b組成的有序序列，尋找總序列中的第k個元素。

比較a[k/2-1]和b[k/2-1]的值，

a[k/2-1]:a中第k/2個元素；

b[k/2-1]:b中第k/2個元素；

這兩個元素比較共有三種情況：

如果a[k/2-1] < b[k/2-1]，這表明a[0]至a[k/2-1] (包括a[k/2-1])的元素都在a和b合併之後的總序列中的前k個元素中。也就是說，a[0]至a[k/2-1]不可能是總序列的第k個值，可以將其拋棄；

同理，如果a[k/2-1] > b[k/2-1]，這表示b[0]至b[k/2-1]的元素都在a和b合併之後的前k個元素中，可以拋棄；

如果a[k/2-1] == b[k/2-1]，運氣很好啊，說明已經找到第k個元素了，直接返回。因為兩個陣列中分別有k/2 - 1個元素小於a[k/2-1]，並且序列都有序，那麼a[k/2 - 1]肯定是第k個元素了。

舉例說明:

a = (a0,a1,a2,a3);b = (b0,b1,b2,b3);a0 < a1 < a2 < a3,b0 < b1 < b2 < b3.尋找總序列的第4個元素。

分別取a和b中的第2個元素,a1,b1；

如果a1 < b1，說明a0,a1不可能是總序列的第4個元素，捨棄a0，a1;

因為a0,a1,b0,b1中b1最大，並且序列有序，a0，a1不可能是總序列的第k個元素，所以可以捨棄a0,a1；

如果a1 > b1，說明b0,b1不可能是總序列的第4個元素，捨棄b0，b1;

因為a0,a1,b0,b1中a1最大，並且序列有序，b0，b1不可能是總序列的第k個元素，所以可以捨棄b0,b1；

如果a1 = b1，說明a1恰好為總序列的第k個元素，因為a0,b0比a1,b1小，總序列排序:min(a0,b0) <= max(a0,b0) <= a1<=b1，所以a1恰好為總序列的第4個元素。

由以上可知，可以通過二分法將問題規模縮小，假設p + q = k，a[p -1]對應a中第p個元素，總序列是由a，b組成的有序序列。

如果序列a中的第p個元素小於序列b中的第q個元素，則序列a的前p個元素肯定都小於總序列的第k個元素，即序列a中的前p個元素肯定不是總序列的第k個元素，所以將序列a的前p個元素全部拋棄，形成乙個較短的新序列；然後，用新序列替代原先的a序列，再找其中的第k - p個元素（因為已經排除了p個元素，k需要更新為k-p），依次遞迴；

同理，如果a序列中的第p個元素大於序列b中的第q個元素，則拋棄序列b的前q個元素，k = k - q；

如果序列a的第p個元素等於序列b的第q個元素，則第k個元素為a(p-1)；

遞迴終止條件:

如果乙個序列為空，那麼第k個元素就是另乙個序列的第k個元素；

如果k = 1，那麼直接返回min(a[0],b[0])；

如果a[p - 1] == b[q - 1]，則第k個數就為a[p - 1]；

根據以上就可以寫**啦- -

def
fun(nums1,nums2,k):
if (len(nums2) + len(nums1)) < k:  #防患於未然
return
'error,k大於兩個list總個數'
#必須優先檢查list是否為空,不然會越界...
#如果nums2為空,那麼第k個元素,肯定是nums[k - 1]了啊(k - 1為序列第k個元素,是因為list從0開始...)
if len(nums2) == 0:
return nums1[k - 1]
#為了防止越界,保證nums1長度大於nums2
if len(nums2) > len(nums1):
return self.fun(nums2,nums1,k)
#取第乙個元素,肯定是要比兩個list的首個元素中比較小的那個
if k == 1:
return min(nums1[0],nums2[0])
#防不勝防啊...因為nums2比nums1短,取k/2有可能越界...,檢查了n久沒查出來...
#如果nums2個數不足k/2，所以只能取比k/2小,又不越界的最大值了,即len(nums2),只要保證p + q = k就好啦...
q = min(k / 2, len(nums2))
p = k - q
if nums1[p - 1] < nums2[q - 1]:
return self.fun(nums1[p:],nums2,k - p)
elif nums1[p - 1] > nums2[q - 1]:
return self.fun(nums1,nums2[q:],k - q)
else:
return nums1[p - 1] #返回nums2[q - 1]也可以,反正一樣大....

4 兩個有序陣列中第k小的數

兩個有序數序列中找第k小

兩個有序陣列的第k大數

查詢兩個有序陣列的中位數和第K小的數

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