由 r0
=α;r
n=rn
−1+β
+γn,
n>
0.(2.7)
及 rn
=a(n
)α+b
(n)β
+c(n
)γ,(2.8)
求出 a(
n)b(
n)c(
n)=1
,=n,
=(n2
+n)/
2,即 rn
=α+n
β+12
(n2+
n)γ.
首先我們來考察
(2.7
) 式。
(2.7
) 式是一類遞迴式的通用形式，在此式中，
α 、
β 和
γ 可以取任意值，但是要注意，它們是常數。也就是說，對於乙個具體的遞迴式而言，它的值是確定的。 對於(
2.7)
式所示的一類遞迴式，我們希望能求出乙個通用的解。於是我們先對
n 較小時的情況進行計算觀察： r0
r1r2
r3..
.=α,
=α+β
+γ,=
α+2β
+3γ,
=α+3
β+6γ
,可以看出，
α 、
β 和
γ 的係數是
n 的函式，於是可以將
(2.7
)式的解表述成
(2.8
) 式的形式。
現在我們考察
(2.8
) 式。在
(2.8
) 式中，a(
n)、b(n
) 和c(
n)都是
n 的函式，α、
β 和
γ 是常數。而我們的目的是求出a(
n)、b(n
) 和c(
n)，則a(
n)、b(n
) 和c(
n)相當於未知數。可以模擬於下式： αx
+βy+
γz=a
. 於是為了求出a(
n)、b(n
) 和c(
n)，我們需要列出三個等式，模擬於下式： ⎧⎩
⎨α1x
+β1y
+γ1z
=a1,
α2x+
β2y+
γ2z=
a2,α
3x+β
3y+γ
3z=a
3.所以我們需要找到三對
以組成方程組。
我們最直接的想法就是，隨意選取三組
，然後求出r(
n)，以此湊出三對
。但是我們現在要解決的問題就是由
求出r(
n)，所以此法不行。不如，我們反其道而行之，先隨意選取乙個r(
n)，然後求出對應的
。r(n
) 的選取是任意的，只要能由其確定
。於是我們首先選取最簡單的 rn
=1.⇒α
=1,β
=0,γ
=0.再次我們選取 rn
=n.⇒
α=0,
β=1,
γ=0.
最後，我們選取 rn
=n2.
⇒α=0
,β=−
1,γ=
2.
於是我們可以得到方程組： ⎧⎩
⎨⎪⎪1
nn2=
a(n)
,=b(
n),=
−b(n
)+2c
(n).
解之得 ⎧⎩
⎨⎪⎪a
(n)=
1,b(
n)=n
,c(n
)=12
(n2+
n).
從而我們得出 rn
=α+n
β+12
(n2+
n)γ.
要理解這種解遞迴式的成套方法，主要要抓住兩點：
1) a(n
) 、b(
n)和c(n
) 相當於未知數，而r(
n)和α
、β、γ
在具體的遞迴例項中，都相當於已知數。
2) 要得到三對
，要反其道而行之，先確定r(
n)，然後由此求出
α 、
β 和
γ .
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