關於空間的理解

什麼是賦範線性空間、內積空間，度量空間，希爾伯特空間？現代數學的乙個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同乙個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。

既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須給集合賦予一些「結構」（從一些具體問題抽象出來的結構）。

從數學的本質來看，最基本的集合有兩類：線性空間（有線性結構的集合）、度量空間（有度量結構的集合）。

對線性空間而言，主要研究集合的描述，直觀地說就是如何清楚地告訴地別人這個集合是什麼樣子。為了描述清楚，就引入了基（相當於三維空間中的座標系）的概念，所以對於乙個線性空間來說，只要知道其基即可，集合中的元素只要知道其在給定基下的座標即可。

因為有度量，所以可以在度量空間、賦範線性空間以及內積空間中引入極限，但抽象空間中的極限與實數上的極限有乙個很大的不同就是，極限點可能不在原來給定的集合中，所以又引入了完備的概念，完備的內積空間就稱為hilbert空間。

這幾個空間之間的關係是：

線性空間與度量空間是兩個不同的概念，沒有交集。

賦範線性空間就是賦予了範數的線性空間，也是度量空間（具有線性結構的度量空間）

內積空間是賦範線性空間

希爾伯特空間就是完備的內積空間。