線性方程組：α1
x1+α
2x2+
α3x3
+α4x
4=β
其中，αi
,i=1
,2,3
,4,β
均是四維列向量，有通解：k[
−2,3
,1,0
]t+[
4,−1
,0,3
]t三個小題： 1）β
是否能由α2
,α3，
α4線性表出，若能，錶出之否則說明理由。
分析：給定的是通解結構，我們能從中發現很多資訊。首先這是乙個非齊次方程組的通解。題幹給的是矩陣的列向量分塊形式的表達，需要對應到四維即4個方程的展開。通解是齊次方程組通解+特解。可見解系中的自由向量只有乙個。問的是2）α4β 是否可被指定的三個向量線性表出，只需要把通解表達形式稍微轉換一下：
(-2k+4,3k-1,k,3) 即：β
=(−2
k+4)
α1+(
3k−1
)α2+
kα3+
3α4 ,所以我們只要考慮消除α1
即可，令α1
前面的係數為0，則k=2，得出： β=
5α2+
2α3+
3α4 ,
所以可以線性表出，錶出式如上。
是否可由α1
,α2,
α3線性表出，說明理由。
分析：可以通過秩的大小來判斷。題幹中四個向量，但是基礎解系只有乙個因此 r(3）求線性方程組： [αα1,α
2,α3
,α4)
=r(α
1,α2
,α3,
α4,β
)=3 ,可以假設α4
=k1α
1+k2
α2+k
3α3 , 從通解中我們可以利用齊次方程組的解： −2
α1+3
α2+α
3=0 得到： α3
=2α1
−3α2
,則： α4
=(k1
+2k3
)α1+
(k2−
3k3)
α2,可以看出α3
,α4 都可以由α1
,α2 表示了，那麼r(
α1,α
2,α3
,α4)
≤2≠3
,因此矛盾。
1+β,
α1,α
2,α3
,α4]
x=β
分析：因為首先需要乙個滿足方程的特解：由原題幹的特解只需要令α1β 可以由α1
,α2,
α3,α
4 線性表出，因此r(
α1+β
,α1,
α2,α
3,α4
)=r(
α1+β
,α1,
α2,α
3,α4
,β)=
3 ,現在向量個數是5個，因此基礎解系有兩個無關向量。 設為ξ
1,ξ2
,下面就是構造通解的觀察法。
+β的係數為0，即可構造乙個特解為：[0
,4,−
1,0,
3]t
再觀察[1,
−1,0
,0,0
]t也是乙個特解。
再看齊次方程組的乙個基礎解：ξ1
=[0,
−2,3
,1,0
] 兩個特解之差是齊次方程組的乙個基礎解，則可以得到：ξ2
=[−1
,5,−
1,0,
3]t
因此得到的通解是：k1
[0,−
2,3,
1,0]
t+k2
[−1,
5,−1
,0,3
]t+[
0,4,
−1,0
,3]t
。本題主要突出的是觀察法的運用。
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