浮點數的表示

日期： 2023年6月 6日

1.前幾天，我在讀一本c語言教材，有一道例題：

#includevoid main(void)

執行結果如下：

num的值為：9

*pfloat的值為：0.000000

num的值為：1091567616

*pfloat的值為：9.000000

我很驚訝，num和*pfloat在記憶體中明明是同乙個數，為什麼浮點數和整數的解讀結果會差別這麼大？

要理解這個結果，一定要搞懂浮點數在計算機內部的表示方法。我讀了一些資料，下面就是我的筆記。

2.在討論浮點數之前，先看一下整數在計算機內部是怎樣表示的。

int num=9;

上面這條命令，宣告了乙個整數變數，型別為int，值為9（二進位制寫法為1001）。普通的32位計算機，用4個位元組表示int變數，所以9就被儲存為00000000 00000000 00000000 00001001，寫成16進製制就是0x00000009。

那麼，我們的問題就簡化成：為什麼0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

3.根據國際標準ieee 754，任意乙個二進位制浮點數v可以表示成下面的形式：

（1）(-1)^s表示符號位，當s=0，v為正數；當s=1，v為負數。

（2）m表示有效數字，大於等於1，小於2。

（3）2^e表示指數字。

舉例來說，十進位制的5.0，寫成二進位制是101.0，相當於1.01×2^2。那麼，按照上面v的格式，可以得出s=0，m=1.01，e=2。

十進位制的-5.0，寫成二進位制是-101.0，相當於-1.01×2^2。那麼，s=1，m=1.01，e=2。

ieee 754規定，對於32位的浮點數，最高的1位是符號位s，接著的8位是指數e，剩下的23位為有效數字m。

對於64位的浮點數，最高的1位是符號位s，接著的11位是指數e，剩下的52位為有效數字m。

5.ieee 754對有效數字m和指數e，還有一些特別規定。

前面說過，1≤m<2，也就是說，m可以寫成1.******的形式，其中******表示小數部分。ieee 754規定，在計算機內部儲存m時，預設這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只儲存後面的******部分。比如儲存1.01的時候，只儲存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以32位浮點數為例，留給m只有23位，將第一位的1捨去以後，等於可以儲存24位有效數字。

至於指數e，情況就比較複雜。

首先，e為乙個無符號整數（unsigned int）。這意味著，如果e為8位，它的取值範圍為0~255；如果e為11位，它的取值範圍為0~2047。但是，我們知道，科學計數法中的e是可以出現負數的，所以ieee 754規定，e的真實值必須再減去乙個中間數，對於8位的e，這個中間數是127；對於11位的e，這個中間數是1023。

比如，2^10的e是10，所以儲存成32位浮點數時，必須儲存成10+127=137，即10001001。

然後，指數e還可以再分成三種情況：

（1）e不全為0或不全為1。這時，浮點數就採用上面的規則表示，即指數e的計算值減去127（或1023），得到真實值，再將有效數字m前加上第一位的1。

（2）e全為0。這時，浮點數的指數e等於1-127（或者1-1023），有效數字m不再加上第一位的1，而是還原為0.******的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近於0的很小的數字。

（3）e全為1。這時，如果有效數字m全為0，表示±無窮大（正負取決於符號位s）；如果有效數字m不全為0，表示這個數不是乙個數（nan）。

6.好了，關於浮點數的表示規則，就說到這裡。

下面，讓我們回到一開始的問題：為什麼0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

首先，將0x00000009拆分，得到第一位符號位s=0，後面8位的指數e=00000000，最後23位的有效數字m=000 0000 0000 0000 0000 1001。

v=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

顯然，v是乙個很小的接近於0的正數，所以用十進位制小數表示就是0.000000。

7.再看例題的第二部分。

請問浮點數9.0，如何用二進位制表示？還原成十進位制又是多少？

首先，浮點數9.0等於二進位制的1001.0，即1.001×2^3。

那麼，第一位的符號位s=0，有效數字m等於001後面再加20個0，湊滿23位，指數e等於3+127=130，即10000010。

所以，寫成二進位制形式，應該是s+e+m，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進位制數，還原成十進位制，正是1091567616。

浮點數的表示

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