如何計算時間複雜度

一. 概念

時間複雜度描述的是程式的執行時間，時間複雜度越低，執行效率越高

時間複雜度是總運算次數表示式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)

影響從大到小: 不考慮係數

n! >  2^n (指數階) > n^3 (立方階)> n^2 (平方階)> nlog2n(線性對數階) > n (線性階) > log2n (對數階) > 1 (常數階)

二. 計算方法

找到迴圈裡的最基本的操作，把每個最基本操作的執行次數相加，找對n最大影響的那一項

其實就是找最深層迴圈裡的基本操作的執行次數就可以了

最常用的迴圈方法的時間複雜度

(1)  for(i=1;i<=n;i++)  // 外迴圈執行了n次

for(j=1;>j<=n;j++)  // 內迴圈執行了n次
s++;  //基本操作，一共迴圈了n*n次，當然是o(n^2)

(2) 

for(i=1;i<=n;i++)  //外迴圈執行了n次for(
j=i;j<=n;j++)  // 內迴圈每次的執行次數不一樣，i=1，執行n次，i=2，執行n-1次，依次遞減
s++;   //迴圈了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因為時間複雜度是不考慮係數的，所以也是o(n^2)

1+2+3+... + n = (n^2)/2

推導：

s = 1+2+3+... +n;

s = n+n-1+... +2+1

2個公式相加，每一項都是n+1,一共n項，則2s=n(n+1);  s= n(n+1)/2, 取最高端，不考慮係數就是

o(n^2)

簡單點：2重迴圈一般就是n2

(3)

for(i=1;i<=n;i++)     //迴圈了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,當然也是o(n^2)

for(j=1;
j<=i
;j++)
s++;

和上面的2是反著的。上面內迴圈每次迴圈的開始值是i,最大值固定是n，迴圈次數逐漸遞減

這個內迴圈每次迴圈的開始值固定是1，最大值是i，迴圈次數逐漸遞加

簡單點：2重迴圈一般就是n2

(4)

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;
j<=i
;j++)  // j與i相關，迴圈次數不固定

for(k=1;

k<=j
;k++)  // k與j相關，迴圈次數不固定

x=x+1;

迴圈了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(這個公式要記住哦)≈(n^3)/3，不考慮係數，自然是

o(n^3)

簡單點：三重迴圈一般就是n3

i=1時，二層迴圈1次，三層迴圈一次， 總共1次

i=2時，二層迴圈2次，三層迴圈二次，總共4次

i=3時，二層迴圈3次，三層迴圈分別執行1+2+3次共6次 ，總共9次

(5)

for（i=1;i<=n;++i）

}則有 t（n）= n^2+n^3，
則該演算法的 時間複雜度：t（n）=o（n^3)

總結：

簡單的計算的話，看看有幾重for迴圈，只有一重則時間複雜度為o(n)，二重則為o(n^2)，依此類推，如果有二分則為o(logn)，二分例如

快速冪、二分查詢，如果乙個for迴圈套乙個二分，那麼時間複雜度則為o(nlogn)。

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