字串的編輯距離

題目：對於乙個字串a可以通過增加乙個字元、刪除乙個字元、修改乙個字元，將字串a變成字串b，例如

a= abcddefg

b = abcefg

可以通過a字串刪除兩個dd得到b字串，也可以通過b字串增加dd程式設計a字串，從上面的分析可以知道，增加和刪除的代價必須是相同的，這樣a字串變成b字串的代價和b字串變成a字串的代價才會是相同的，否這可能產生代價不對稱的情況。其實我們可以設定修改和增加（刪除）的代價是不同的，當然也可以認為他們是一樣的。

實際的計算過程可以如下進行：

1)比較a[i]和b[j];

2)如果a[i] == b[j]，那麼distance = editdistance(a[i + i], b[j + 1]) + 0;

3)如果a[i] != b[j]，那麼可以經過如下操作使得a[i]等於b[j]

a) a[i]前增加b[j]，那麼distance = editdistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost

b)b[j]前增加a[i]，那麼distance = editdistance(a[i + 1], b[j]) + insert_cost

c)刪除a[i]，那麼distance = editdistance(a[i + 1], b[j]) + delete_cost

d)刪除b[j]，那麼distance = editdistance(a[i], b[j + 1] + delete_cost

e)a[i]變成b[j]，那麼distance = editdistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

f)b[j]變成a[i]，那麼distance = editdistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果insert_cost == delete_cost，那麼a新增字元變成b和b刪除字元變成a是等價的，a[i]變成b[j]與b[j]變成a[i]也是等價的，因此實際需要考慮的代價就是下面3種情況：

i) distance = editdistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost(或delete_cost)

ii) distance = editdistance(a[i + 1], b[j] + insert_cost(或delete_cost)

iii)distance = editdistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果我們回顧一下最長公共子串行問題（lcs），就會發現這個問題和lcs問題幾乎是等價的。因為可以這樣理解，找出a和b的lcs，保持lcs對齊不變，增加刪除一些字元就完成了變換，而這樣的代價應該是最小的（猜測的，沒有證明）

這樣乙個問題，我們可以使用遞迴來解決。

當然的解決方案是用動態規劃的方法解決，採用動態規劃解決時，我們假設前面字串都已經變換相同了，那麼在a[i]變成b[j]的過程中需要對比如下代價：

1)如果a[i] == b[j]，那麼前面的狀態可能是a[i - 1] b[j - 1]或者 a[i - 1] b[j]或者a[i] b[j - 1]，我們要比較這些可能的轉換過程中哪個代價更小；

2)如果a[i] != b[j]，那麼：

i)a[i] b[j]可能從a[i - 1] b[j - 1]狀態通過replace a[i] to a[j] + replace的代價來實現；

ii)a[i] b[j]可能從a[i ] b[j - 1]狀態通過為a[i]前面新增乙個b[j -1] + insert的代價來實現；

iii)a[i] b[j]可能從a[i - 1] b[j]狀態通過刪除a[i - 1] + delete的代價來實現；

而這些代價就通過乙個向量cost向量來儲存。

程式**如下：

#include #include #include using namespace std;

int main ()}}

cout<<'1'<<'/'<<(dp[len1][len2]+1)<

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