放雞蛋問題

我們先來看看題目：

erin買了不少雞蛋，她發現一天吃不完這麼多，於是決定把n個同樣的雞蛋放在m個同樣的籃子裡，允許有的籃子空著不放，請問共有多少種不同的放法呢？

注意：2，1，1和1，2，1 是同一種分法。

input 第一行是測試資料的數目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二個整數m和n，以空格分開。1<=m，n<=10。

output 對輸入的每組資料m和n，用一行輸出相應的結果。

例如：input:

3 84 7

2 44 2

output:

(注意結尾有換行)

第一次接觸這種題目，大家最頭疼的應該是例如（1， 2， 1）和（1， 1， 2）一樣的重複問題，如何解決重複問題，是該題的一大難點。

我說說我的思路。

根據題意我們可以大概分成三種情況：雞蛋數目多於籃子數目，雞蛋數目等於籃子數目，雞蛋數目少於籃子數目。

首先，我們來看看最簡單的一種情況：雞蛋數目少於籃子數目。

很明顯，雞蛋少的時候就算每個籃子都放乙個雞蛋，必定會有籃子放不滿，因此我們很容易就可以將這種情況簡化成為：將n個雞蛋放入m個籃子（n <ｍ）。

然後，我們再來看看另外一種情況：雞蛋數目多於籃子數目

雞蛋數目多於籃子數目時，很顯然每個籃子都可以放滿，當然也可以只有乙個籃子放滿，但是再放雞蛋的過程中，很容易發生重複的情況，這時候我們不妨這樣思考：

假設共有m個籃子，n個雞蛋。現在我們先假設m個籃子都放滿且每個籃子都只放乙個雞蛋，放入雞蛋後剩下的雞蛋數目為n-m，再讓剩下的n-m去放m個籃子，此時我們不繼續往下討論。再假設m-1個籃子都只放滿乙個雞蛋，與前面同樣的道理，我們可以得到讓n-（m-1）個雞蛋放m-1個籃子……這樣乙個個增加空籃子的數目直到非籃子數目為2或1。

為了更清楚地說明這種原理，我們設乙個放雞蛋函式為f(m, n) (m為籃子數目，n為雞蛋數目），然後我們引用例子中m= 4， n= 7，我們就可以進行拆分:

f(4,7)= f(4, 3)+f(3, 4)+f(2, 5)+f(1, 6)

= [f(3, 3)]+[f(3, 1)+f(2, 2)+f(1, 3)]+[f(1, 4)+f(2, 3)]+[f(1, 6)]

=[f(3, 3)]+[f(1, 1)+f(2, 2)+f(1, 3)]+[f(1, 4)+f(2, 3)]+[f(1, 6)]

我們發現當籃子數目m= 2或m= 1時，分類數目是顯而易見的當m= 1時， f(1，n)= 1; 當m= 2時，f(2, n)= n/2（當n為奇數取整）(注意當籃子數目為2時要求兩個籃子都放，不存在乙個籃子不放的情況）。於是我們得到f(3, 1)= 1， f(2, 2)= 1， f(1, 3)= 1， f(1, 4)= 1， f(2, 3)= 1，f(1, 6)= 1。

我們現在還不知道f(3, 3)的值。

所以我們必須討論最後一種情況：雞蛋數目等於籃子數目。

如果按照之前的拆分方式，我們可以將f(3, 3)拆分為：

f(3, 3)= f(3, 0)+ f(2, 1)+ f(1, 2)= f(3, 0)+ f(1, 1)+ f(1, 2)

根據上述的方法我們很快就得到 f=f(2, 1)=f(1, 1)= 1, f(1, 2)= 1。但是我們不知道怎麼求f(3, 0)。

為了搞清楚發f(3, 0)是什麼，我們認真思考將3個雞蛋放3個籃子的情況：3個籃子放都各放1個雞蛋；1個籃子放1個雞蛋，乙個放2個，另乙個不放；3個雞蛋都放進1個雞蛋，另外兩個不放。我們發現1個籃子放1個雞蛋，乙個放2個，另乙個不放的情況對應於f(2, 1)即f(1, 1)，3個雞蛋都放進1個雞蛋，另外兩個不放的情況對應於f(1, 2)，剩下的3個籃子放都各放1個雞蛋的情況只能對應於f(3, 0）。這樣我們就知道f(3, 0)= 1。所以

f(3, 3)= f(3, 0)+ f(2, 1)+ f(1, 2)= f(3, 0)+ f(1, 1)+ f(1, 2)=1+1+1=3

類似我們試著去求f(4, 4),我們同樣發現f(4, 0)= 1。所以根據不完全歸納，我們可以推出f(m, 0)= 1。

現在再回到之前的例子。

f(4,7)= f(4, 3)+f(3, 4)+f(2, 5)+f(1, 6)

= [f(3, 3)]+[f(3, 1)+f(2,2)+f(1, 3)]+[f(1, 4)+f(2, 3)]+[f(1, 6)]

=[f(3, 3)]+[f(1, 1)+f(2, 2)+f(1, 3)]+[f(1, 4)+f(2, 3)]+[f(1, 6)]

= 3+1+2+1+1+1+1+1=11

很明顯這就是例子給出的結果。

如果我們將這種方法轉化為**時，我們要實現這種拆分，我們必須用到遞迴，注意寫**時將基本情況交代清楚，否則程式將出現錯誤。

我寫的**如下：

#include
int main()  
for (i= 0; i< number; i++)  
}int way= 0;
int put(int basket, int egg)  
way= 0; 
way+= sum; 
}//進行拆分並對遞迴結果進行累加 
} } 
else
if (basket> egg) put(egg, egg);
//雞蛋數目少於籃子數目的情況 
else  
way= sum; 
} return way;//輸出最終結果 
}

另外附上標答的**，用的就是我的方法，但標答的**更簡潔

#include
int egg(int
m, int n);
int main()  
return
0; }
int egg(int
m, int n)

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